追溯菲涅尔转换为人知的时期，要回到十七世纪的时候，由一位意大利人Francesco Maria Grimaldi 在他的专题论文-"light"[ 1] Richard C. MacLaurin 借由观测光的传递、一条远距离光源所产生的光束遇到一个有孔或狭长的障碍物时如何被影响，去解释菲涅尔衍射现象。他使用了惠更斯－菲涅耳原理 去做推导，发现光的波前从障碍物的狭缝中穿出且射到一个距离狭缝有一段距离的屏幕上的效果，跟光的波前直接穿过去是差不多的，看起来就好像没有经过任何的物理障碍一样。这个结果表示如果一个缝隙如果非常的狭长，具有明亮中心的衍射宽带则可以被观测到；如果这个缝隙相对来说比前一个状况宽一些，则会看见明暗交错的衍射宽带。若这个隙缝继续的变大，则明暗交错的衍射宽带会渐渐地变的不明显，直到衍射的现象无法再被观测到为止。
MacLaurin没有提到关于光如果从一个小孔照耀出去的话，衍射的中心会有几率受到影响而看不见。但是他指出相反的情况-如果一个圆形物体的影子区域，可能经由衍射效果而使的此区域变明亮，这也是我们俗称的阿拉戈点。
在MacLaurin的著作-"光学"中[ 2]
要推导菲涅尔转换，我们先考虑一个电场的衍射模式，给定
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
E
(
x
,
y
,
z
)
=
1
i
λ
∬
−
∞
+
∞
E
(
x
′
,
y
′
,
0
)
e
i
k
r
r
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle E(x,y,z)={1 \over {i\lambda }}\iint _{-\infty }^{+\infty }{E(x',y',0){\frac {e^{ikr}}{r}}}dx'dy'}
其中，
E
(
x
′
,
y
′
,
0
)
{\displaystyle E(x',y',0)}
r
{\displaystyle r}
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
+
z
2
{\displaystyle {\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}}}
i
{\displaystyle i\,}
原积分式较为难处理的部分便是
r
{\displaystyle r}
ρ
{\displaystyle \rho }
x
,
y
{\displaystyle x,y}
ρ
2
=
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
{\displaystyle \rho ^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}\,}
因此
r
{\displaystyle r}
z
{\displaystyle z}
ρ
{\displaystyle \rho }
r
=
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
+
z
2
=
ρ
2
+
z
2
=
z
1
+
ρ
2
z
2
{\displaystyle r={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}}={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}}
=
z
[
1
+
ρ
2
2
z
2
−
1
8
(
ρ
2
z
2
)
2
+
⋯
]
{\displaystyle =z\left[1+{\frac {\rho ^{2}}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}\right)^{2}+\cdots \right]}
=
z
+
ρ
2
2
z
−
ρ
4
8
z
3
+
⋯
{\displaystyle =z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}-{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}+\cdots }
因为我们有以下的性质：
1
+
k
=
(
1
+
k
)
1
/
2
=
1
+
k
2
−
k
2
8
+
⋯
{\displaystyle {\sqrt {1+k}}=(1+k)^{1/2}=1+{\frac {k}{2}}-{\frac {k^{2}}{8}}+\cdots }
k
{\displaystyle k}
ρ
2
z
2
{\displaystyle {\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}
接着，我们考虑上述展开式的第三项以后，我们希望那之后的项都非常小，小到可以忽略，若要达成这项条件，因为
r
{\displaystyle r}
ρ
≪
z
{\displaystyle \rho \ll z}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
这表示我们希望有以下性质：
k
ρ
4
8
z
3
≪
2
π
{\displaystyle k{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}\ll 2\pi }
k
=
2
π
λ
{\displaystyle k={2\pi \over \lambda }\,}
ρ
4
z
3
λ
≪
8
{\displaystyle {\frac {\rho ^{4}}{z^{3}\lambda }}\ll 8}
将
x
,
y
,
x
′
,
y
′
{\displaystyle x,y,x',y'}
x
,
y
,
x
′
,
y
′
{\displaystyle x,y,x',y'}
r
{\displaystyle r}
[
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
]
2
z
3
λ
≪
8
{\displaystyle {\frac {[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]^{2}}{z^{3}\lambda }}\ll 8}
近似结果为泰勒展开式的前两项：
r
≈
z
+
ρ
2
2
z
=
z
+
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
2
z
{\displaystyle r\approx z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}=z+{\frac {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}}{2z}}}
同时我们将分母的
r
{\displaystyle r}
r
{\displaystyle r}
z
{\displaystyle z}
E
(
x
,
y
,
z
)
=
e
i
k
z
i
λ
z
∬
−
∞
+
∞
E
(
x
′
,
y
′
,
0
)
e
i
k
2
z
[
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
]
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle E(x,y,z)={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}\iint _{-\infty }^{+\infty }E(x',y',0)e^{{ik \over 2z}[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]}dx'dy'}
如前所述，本式子成立的条件须要我们能比较衍射半径以及电磁波传递之距离，且前者须远远小于后者，不论是针对分子的复数exponential的项，或者是分母的项皆是如此。一般来说，当菲涅尔数为1的时候，菲涅尔衍射是可以发生的。同时，观察此方程式，我们可以发现其类似一个球型波传递。虽然此积分式的分析解依然不容易求得(只有发生在少数状况可直接得到)，若要在更简化则需要使用夫朗和斐衍射公式。此外，菲涅尔衍射具备波前的曲线性，这样才能计算出近场电磁波干扰时的相对相位角。
要提到菲涅尔转换，我们也必须提到线性标准转换 ，因为菲涅尔转换可视为线性标准转换的一种在时频分析上的修剪形式(傅立叶转换对应到的事在时频分析上的旋转)；此处以z方向为电磁波传递方向，因
z
{\displaystyle z}
X
(
a
,
b
,
c
,
d
)
(
u
)
=
−
1
i
b
⋅
e
i
π
d
b
u
2
∫
−
∞
∞
e
−
i
2
π
1
b
u
t
e
i
π
a
b
t
2
x
(
t
)
d
t
,
{\displaystyle X_{(a,b,c,d)}(u)={\sqrt {-{\frac {1}{ib}}}}\cdot e^{i\pi {\frac {d}{b}}u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi {\frac {1}{b}}ut}e^{i\pi {\frac {a}{b}}t^{2}}x(t)\;dt\,,}
当 b ≠ 0,
X
(
a
,
0
,
c
,
d
)
(
u
)
=
d
⋅
e
i
π
c
d
u
2
x
(
d
u
)
,
{\displaystyle X_{(a,0,c,d)}(u)={\sqrt {d}}\cdot e^{i\pi cdu^{2}}x(du)\,,}
当 b = 0.
且
a
d
−
b
c
=
1
{\displaystyle ad-bc=1}
行列式 限制条件来表示，如同矩阵
[
a
b
c
d
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}
a
d
−
b
c
=
1
{\displaystyle ad-bc=1}
根据上述公式，菲涅尔转换为线性标准转换的一个特例，表示形式为：
U
o
(
x
,
y
)
=
−
i
λ
e
i
k
z
z
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
U
i
(
x
′
,
y
′
)
e
i
k
2
z
[
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
]
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle U_{o}(x,y)=-\ {\frac {i}{\lambda }}{\frac {e^{ikz}}{z}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }U_{i}(x',y')e^{i{\frac {k}{2z}}[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]}\ dx'dy'}
其中，
λ
{\displaystyle \lambda }
k
=
2
π
λ
{\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}
z
{\displaystyle z}
我们亦可把菲涅尔转换当成是两个一维的线性标准转换的合成，表示如下：
U
o
(
x
,
y
)
=
e
i
k
z
1
j
λ
z
∫
−
∞
∞
e
i
k
2
z
(
y
−
y
′
)
2
1
j
λ
z
∫
−
∞
∞
U
i
(
x
′
,
y
′
)
e
i
k
2
z
(
x
−
x
′
)
2
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle U_{o}(x,y)=\ e^{ikz}{\sqrt {\frac {1}{j\lambda z}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{i{\frac {k}{2z}}(y-y')^{2}}{\sqrt {\frac {1}{j\lambda z}}}\int _{-\infty }^{\infty }U_{i}(x',y')e^{i{\frac {k}{2z}}(x-x')^{2}}\ dx'dy'}
若以矩阵形式来看，则为
[
a
b
c
d
]
=
[
1
λ
z
0
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{bmatrix}}}
菲涅尔转换的积分式也可以有其他种的表示方式，以达到使用其数学性质的目的，如果我们定义以下的函数：
h
(
x
,
y
,
z
)
=
e
i
k
z
i
λ
z
e
i
k
2
z
(
x
2
+
y
2
)
{\displaystyle h(x,y,z)={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}e^{i{\frac {k}{2z}}(x^{2}+y^{2})}}
这个积分可以被表示成卷积 的形式
E
(
x
,
y
,
z
)
=
E
(
x
,
y
,
0
)
∗
h
(
x
,
y
,
z
)
=
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
E
(
x
′
,
y
′
,
0
)
∗
h
(
x
−
x
′
,
y
−
y
′
,
z
)
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle E(x,y,z)=E(x,y,0)*h(x,y,z)\,=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }E(x',y',0)*h(x-x',y-y',z)\ dx'dy'}
换句话说，我们可以将这个电磁波的传递，以线性滤波器的模型来表示。这也是为什么我们一般会将
h
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle h(x,y,z)}
另外一种常见的变换形式就是傅立叶转换，如果在积分式中，我们将
k
{\displaystyle k}
λ
{\displaystyle \lambda }
k
=
2
π
λ
{\displaystyle k={2\pi \over \lambda }\,}
x
,
x
′
,
y
,
y
′
{\displaystyle x,x',y,y'}
(
x
−
x
′
)
2
=
x
2
+
x
′
2
−
2
x
x
′
,
(
y
−
y
′
)
2
=
y
2
+
y
′
2
−
2
y
y
′
,
{\displaystyle {\begin{aligned}(x-x')^{2}&=x^{2}+x'^{2}-2xx',\\(y-y')^{2}&=y^{2}+y'^{2}-2yy',\end{aligned}}}
那么我们便可以将此积分式变换为一个二维的傅立叶转换表示形式，接着，我们使用定义
G
(
p
,
q
)
{\displaystyle G(p,q)}
g
(
x
,
y
)
{\displaystyle g(x,y)}
G
(
p
,
q
)
=
F
{
g
(
x
,
y
)
}
≡
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
g
(
x
,
y
)
e
−
i
2
π
(
p
x
+
q
y
)
d
x
d
y
,
{\displaystyle G(p,q)={\mathcal {F}}\left\{g(x,y)\right\}\equiv \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(x,y)e^{-i2\pi (px+qy)}\,dx\,dy,}
其中
p
,
q
{\displaystyle p,q}
波数 的意思，如此一来，将
g
(
x
,
y
)
=
E
(
x
′
,
y
′
,
0
)
e
i
π
λ
z
(
x
′
2
+
y
′
2
)
{\displaystyle g(x,y)=E(x',y',0)e^{i{\frac {\pi }{\lambda z}}(x'^{2}+y'^{2})}}
E
(
x
,
y
,
z
)
=
e
i
k
z
i
λ
z
e
i
π
λ
z
(
x
2
+
y
2
)
F
{
E
(
x
′
,
y
′
,
0
)
e
i
π
λ
z
(
x
′
2
+
y
′
2
)
}
|
p
=
x
λ
z
,
q
=
y
λ
z
=
{
h
(
x
,
y
)
}
⋅
G
(
p
,
q
)
|
p
=
x
λ
z
,
q
=
y
λ
z
,
{\displaystyle {\begin{aligned}E(x,y,z)&={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}e^{i{\frac {\pi }{\lambda z}}(x^{2}+y^{2})}\left.{\mathcal {F}}\left\{E(x',y',0)e^{i{\frac {\pi }{\lambda z}}(x'^{2}+y'^{2})}\right\}\right|_{p={\frac {x}{\lambda z}},\ q={\frac {y}{\lambda z}}}\\&=\left\{h(x,y)\right\}\cdot G(p,q){\big |}_{p={\frac {x}{\lambda z}},\ q={\frac {y}{\lambda z}}},\end{aligned}}}
换句话说，当我们运用此性质时，先计算
g
(
x
,
y
)
{\displaystyle g(x,y)}
p
,
q
{\displaystyle p,q}
(
x
λ
z
,
y
λ
z
)
{\displaystyle {\big (}{\tfrac {x}{\lambda z}},{\tfrac {y}{\lambda z}}{\big )}}
h
(
x
,
y
)
{\displaystyle h(x,y)}
线性标准转换 较为类似。
2006年，由I. Aizenberg和J.T. Astola所发表[ 3]
2015年，由Xing Ouyang等人发表的"Discrete Fresnel Transform and Its Circular Convolution"[ 4]
^ Light , by Richard C. MacLaurin, 1909, Columbia University Press^ Optics , Francis Weston Sears, p. 248ff, Addison-Wesley, 1948^ I. Aizenberg and J. Astola, "Discrete generalized Fresnel functions and transforms in an arbitrary discrete basis, " IEEE Trans on Signal Processing, vol. 54, no.11, pp. 4261-4270(2006)
^ X. Ouyang, C. Antony, F. Gunning, H. Zhang, Y. L. Guan, “Discrete Fresnel Transform and Its Circular Convolution”; http://arxiv.org/abs/1510.00574 （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）.
![{\displaystyle =z\left[1+{\frac {\rho ^{2}}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}\right)^{2}+\cdots \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeca29687ddb31aabef4beeb2b7fe204141da672)
![{\displaystyle {\frac {[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]^{2}}{z^{3}\lambda }}\ll 8}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/676b9d6665713275969f60676ef3e1e031cb67e3)
![{\displaystyle E(x,y,z)={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}\iint _{-\infty }^{+\infty }E(x',y',0)e^{{ik \over 2z}[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]}dx'dy'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc7b9c75d158e375dea02ee0ea13d70fab7f1e07)
![{\displaystyle U_{o}(x,y)=-\ {\frac {i}{\lambda }}{\frac {e^{ikz}}{z}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }U_{i}(x',y')e^{i{\frac {k}{2z}}[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]}\ dx'dy'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3ed23fce540bf0df681a560729527b6eb283550)
