在数学里，特别是在变分法里，变分法基本引理（fundamental lemma of calculus of variations）是一种专门用来变换问题表述的引理，可以将问题从弱版表述（weak formulation）（变分形式）改变为强版表述（微分形式）。
代表
阶导数连续（ 阶光滑）的函数空间，
代表无限光滑的函数空间。
变分法基本引理：
设 ![{\displaystyle f(x)\in C^{\infty }[a,\ b]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e102b5f396b1f0a73c99cbe699f6dbb96217128e)
若任意 ![{\displaystyle h(x)\in C^{\infty }[a,\ b]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acbb524b33ecb353b61359e09abe3b16099fd9f5)
满足 
成立
则 
。
设 且 
，
因为只要存在一个不满足 的 
，就可以证明 
，因此我们只须证明其中一个特例。
令 
满足下列两个条件：
；
；
并且令 
。
由 可得到
。
因为 在 
是正值，所以
必须恒等于 0 ，与假设 矛盾。
故 。
这引理可用来证明泛函
![{\displaystyle J[f(t,y,{\dot {y}})]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}f(t,y,{\dot {y}})\,dt\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/157c8bd2dcbff21d9b2306b84114db5f44c71b97)
的极值是欧拉-拉格朗日方程式
的弱解。
欧拉-拉格朗日方程式在经典力学和微分几何占有重要的角色。
- Leitmann, George. The Calculus of Variations and Optimal Control: An Introduction. Springer. 1981. ISBN 0306407078.
