除数函数

在数论上，除数函数 $\sigma _{x}(n)$ 是一类算术函数，定义为 $n$ 的正约数的 $x$ 次幂之和，即 $\sigma _{x}(n)=\sum _{d|n}d^{x}$。

其中一些特殊情况：

• $\sigma _{0}(n)$ ：$n$ 的正约数的数目
• $\sigma _{1}(n)$ ：$n$ 的正约数之和（包括自己），若扣除$n$本身则称为真约数和。

部分 $\sigma _{x}(n)$ 的值

$n$	$x$
	0	1	2
1	1	1	1
2	2	3	5
3	2	4	10
4	3	7	21
5	2	6	26
10	4	18	130
12	6	28	210
20	6	42	546
25	3	31	651

性质

• $\sigma _{x}(n)$ 都是积性函数，但不是完全积性。
• $\sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^{x}-1}}$，其与 $\sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}\sum _{j=0}^{a_{i}}p_{i}^{jx}=\prod _{i=1}^{r}(1+p_{i}^{x}+p_{i}^{2x}+\cdots +p_{i}^{a_{i}x})$（$n$ 的各约数的 $x$ 次方后的和，其在 $x=1$ 时即为 $n$ 包括 $n$ 本身在内的各约数的和）相等。
• $\sigma _{x}(n)=\sum _{\mu =1}^{n}\mu ^{x-1}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos {\frac {2\pi \nu n}{\mu }}.$
• $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-a).$
• $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}.$

参考

• Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9