齐次函数

在数学中，齐次函数（英语：Homogenous）是一个有倍数性质的函数：如果变数乘以一个系数，则新函数会是原函数再乘上系数的某次方倍。

正式定义

假设 $f:V\rightarrow W$ 是域 $F$ 内的两个向量空间之间的函数。

我们说 $f$ 是“ $k$ 次齐次函数”，如果对于所有非零的 $\alpha \in F$ 和 $\mathbf {v} \in V$ ，都有：

f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} )

即是，在欧几里得空间， $f(\alpha \mathbf {v} )=f(k)\ f(\mathbf {v} )$ ，其中 $f(k)$ 为指数函数。

线性函数 $f:V\rightarrow W$ 是一次齐次函数，因为根据线性的定义，对于所有的 $\alpha \in F$ 和 $\mathbf {v} \in V$ ，都有： $f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )$
多线性函数 $f:V_{1}\times \ldots \times V_{n}\rightarrow W$ 是n次齐次函数，因为根据多线性的定义，对于所有的 $\alpha \in F$ 和 $\mathbf {v} _{1}\in V_{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\in V_{n}$ 都有： $f(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n})=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$
从上一个例子中可以看出，两个巴拿赫空间 $X$ 和 $Y$ 之间的函数 $f:X\rightarrow Y$ 的 $n$ 阶弗雷歇导数是 $n$ 次齐次函数。
$n$ 元单项式定义了齐次函数 $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ 。

例如：

f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}

是10次齐次函数，因为：

(\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}

。

x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}

是5次齐次多项式。齐次多项式可以用来定义齐次函数。

\mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )\qquad

。

这个结果证明如下。记 $f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(\mathbf {x} )$ ，并把以下等式两端对 $\alpha$ 求导：

f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )

{\frac {\partial }{\partial \alpha x_{1}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha x_{1})+\cdots +{\frac {\partial }{\partial \alpha {x_{n}}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha x_{n})=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} )

，

因此：

x_{1}{\frac {\partial }{\partial \alpha x_{1}}}f(\alpha \mathbf {x} )+\cdots +x_{n}{\frac {\partial }{\partial \alpha x_{n}}}f(\alpha \mathbf {x} )=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} )

。

以上的方程可以用劈形算符写为：

\mathbf {x} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf {x} )=k\alpha ^{k}f(\mathbf {x} ),\qquad \nabla =({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}})

，

当 $\alpha =1$ ，定理即得证。

假设 $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ 是可导的，且是 $k$ 阶齐次函数。则它的一阶偏导数 $\partial f/\partial x_{i}$ 是 $k-1$ 阶齐次函数。

这个结果可以用类似欧拉定理的方法来证明。记 $f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(\mathbf {x} )$ ，并把以下等式两端对 $x_{i}$ 求导：

f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )

{\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x_{i}}}(\alpha x_{i})=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x_{i}}}(x_{i})

，

因此：

\alpha {\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )

所以

{\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )

.

对于以下的微分方程

I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,

其中 $I$ 和 $J$ 是同次数的齐次函数，利用变量代换 $v=y/x$ ，可以把它化为可分离变量的微分方程：

x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v

。

Blatter, Christian. 20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.. Analysis II (2nd ed.). Springer Verlag. 1979: p. 188. ISBN 3-540-09484-9 （德语）.