一阶偏微分方程

一阶偏微分方程是只和未知数的一阶导数有关的偏微分方程，其型式如下

$F(x_{1},\ldots ,x_{n},u,u_{x_{1}},\ldots u_{x_{n}})=0.\,$

以下的应用会用到一阶偏微分方程：建构双曲型偏微分方程的特征曲面、变分法、一些几何问题，以及一些解有用到特征线法的气体动力学简单模型。若可以找到一阶偏微分方程的解族，可以透过建立解族的包络线来找到其他的解。

通解及全积分

一阶偏微分方程的通解是指其中包括待定常数的解。若一阶偏微分方程中的待定常数和自变数一样多，此解则称为全积分（complete integral）。以下有n个参数的解族

$u=\phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$

若满足${\text{det}}|\phi _{x_{i}a_{j}}|\neq 0$的条件，即为全积分。

波方程的特征曲面

波方程本身是二阶偏微分方程，而其特征曲面为满足以下方程的等值曲面

$u_{t}^{2}=c^{2}\left(u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}\right).\,$

若令$u_{t}=1$，对一般性的影响不大，此时u满足

$u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}={\frac {1}{c^{2}}}.\,$

用方量的表示方式，令

${\vec {x}}=(x,y,z)\quad {\hbox{and}}\quad {\vec {p}}=(u_{x},u_{y},u_{z}).\,$

解族的特征曲面可以表示为

$u({\vec {x}})={\vec {p}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}),\,$

其中

$|{\vec {p}}\,|={\frac {1}{c}},\quad {\text{and}}\quad {\vec {x_{0}}}\quad {\text{is arbitrary}}.\,$

若x和x₀不变，此解的包络线可以由找到半径1/c圆球上的点，且u值为定值的点来求得。若${\vec {p}}$平行${\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}$，此条件会成立。因此，包络线为

$u({\vec {x}})=\pm {\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|.$

这个解对应一个半径会以速度c膨胀或是收缩的圆球。这也是在时空下的光锥。

此方程的初值问题会包括给定t=0 时，u=0 的等值曲面S。这可以由找到所有中心在S上，半径以速度c膨胀或是收缩的圆球包络面来求得。包络面可以由下式求得

${\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|\quad {\hbox{is stationary for}}\quad {\vec {x_{0}}}\in S.\,$

若$|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|$和S垂直，上式就会成立，因此包络线对应和S垂直，速度为c的运动，这也就是Huygens波前建立法：S上的每一点在t=0时发射一个球状波，较晚时间t的波前就是这些球状波的包络线。S的法向量即为光线。

外部链接

• The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws（页面存档备份，存于互联网档案馆）

相关书目

• R. Courant]and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Vol II, Wiley (Interscience), New York, 1962.
• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
• A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27267-X
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
• Sarra, Scott The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws, Journal of Online Mathematics and its Applications, 2003.