共轭类

数学上，特别是在群论中，群的元素可以分割成共轭类（英语：Conjugacy class）；同一个共轭类的元素有很多共同的属性。非交换群的共轭类有很多关于该群的结构的重要特征。对于交换群，这个概念是平凡的，因为每个类就是一个单元素集合。

在同一个共轭类上取常值的函数称为类函数。

定义

对于群 $G$ 中的元素 $g$ 和 $n$ ， $gng^{-1}$ 称为 $n$ 关于 $g$ 的共轭。类似地，对元素 $a$ 和 $b$ ，如果存在元素 $g$ 使得 $b=gag^{-1}$ ，可以称 $a$ 和 $b$ 共轭。

对由可逆矩阵构成的一般线性群 $\mathrm {GL} (n)$ ，共轭的元素（矩阵）称为相似矩阵。

共轭是一种等价关系，因此可以 $G$ 分割为等价类。（这表示群的每个元素属于恰好一个共轭类，而类 $\mathrm {Cl} (a)$ 和 $\mathrm {Cl} (b)$ 相等当且仅当 $a$ 和 $b$ 共轭，否则不相交。）包含群 $G$ 中元素 $a$ 的等价类是

$\mathrm {Cl} (a)=\{gag^{-1}\mid g\in G\}$

称为 $a$ 的共轭类。$G$ 的类数是不同共轭类的个数。同一个共轭类中的元素的阶相同。

例子

对称群$S_{3}$，由所有3个元素的6个置换组成，拥有三个共轭类：

• 恒等 (abc -> abc)表示为(1)
• 对换 (abc -> acb，abc -> bac，abc -> cba)表示为(23) (12) (13)
• 三阶轮换 (abc -> bca，abc -> cab)表示为(132) (123)

对称群$S_{4}$，由4个元素的全部24个置换组成，有5个共轭类：

• 恒等
• 对换
• 三阶轮换
• 四阶轮换
• 双对换

参看立方体的恰当转动，它可以用体对角线的枚举刻划。

• 在$n\times n$矩阵，在同一个共轭类的矩阵称为相似矩阵。

属性

• 单位元总是自成一类，也就是说$\mathrm {Cl} (e)=\{e\}$。

• 若$G$可交换，则$gag^{-1}=a$对于所有$a$和$g$属于$G$成立；所以$\mathrm {Cl} (a)=\{a\}$对于$a$属于$G$成立；可见这个概念对于交换群不是很有用。

• 若$G$的两个元素$a$和$b$属于同一个共轭类（也即，若它们共轭），则它们有同样的阶。更一般地讲，每个关于$a$的命题可以转换成关于$b=gag^{-1}$的一个命题，因为映射$\varphi (x)=gxg^{-1}$是一个$G$的自同构。

• $G$的一个元素$a$位于$G$的中心$\mathrm {Z} (G)$当且仅当其共轭类只有一个元素，$a$本身。更一般地讲，若$\mathrm {C} _{G}(a)$代表$G$中$\{a\}$的中心化子，也即，有所有满足$ga=ag$的元素$g$组成的子群，则指数$[G:\mathrm {C} _{G}(a)]$等于$a$的共轭类中元素的个数。

共轭群作用

令 $G$ 为群，对任意 $g,x\in G$ ，定义 $G$ 关于自身的群作用

$g\cdot x=gxg^{-1}$ 。

$x$ 在作用 $G$ 上的轨道是其在群 $G$ 中的共轭类。元素 $x$ 的稳定子群等于该元素的中心化子。

类似地，我们可以令 $G$ 作用在 $G$ 的所有子集构成的集合，有

$g\cdot S=gSg^{-1}=\{gsg^{-1}\mid s\in S\}$ 。

又或者是作用在 $G$ 的子群构成的集合。

共轭类方程

若 $G$ 为有限群，对 $G$ 的任意元素 $a$ ，其共轭类中的元素可以与中心化子 $C_{G}(a)$ 的陪集一一对应。因为同一陪集的任意两元素 $b$ 和 $c$ （存在 $z\in C_{G}(a)$ 使得 $b=cz$ ）对 $a$ 的共轭相同：

$bab^{-1}=(cz)a(cz)^{-1}=czaz^{-1}c^{-1}=cazz^{-1}c^{-1}=cac^{-1}$ 。

由于 $a$ 在 $G$ 上的轨道等于其共轭类，其稳定子群等于其中心化子，上述结论亦可以由轨道-稳定化子定理给出。

$z$ 的共轭类的元素个数等于它的中心化子的指数 $[G:C_{G}(z)]$ ，因而整除 $G$ 的阶。

进一步的有，对于任何群 $G$ ，从 $G$ 的每个元素个数大于 $1$ 的共轭类中取出一个元素来定义一个代表集 $S=\{x_{i}\}$ 。则 $G$ 是群的中心 $Z(G)$ 以及 $S$ 中所有元素的共轭类 $Cl(x_{i})$ 的不交并集。由此可得群论中重要的类方程：

$|G|=|Z(G)|+\sum _{i}[G:C_{G}(x_{i})]$

其中求和取遍对于每个 $S$ 中的 $x_{i}$ 的 $H_{i}=C_{G}(x_{i})$ 。注意 $[G:H_{i}]$ 是 $x_{i}$ 的共轭类的元素个数。该方程经常用于获得关于共轭类或者中心的大小的信息。

例子

考虑一个有限的 p-群 $G$ （即元素数目为 $p^{n}$ 的群，其中 $p$ 是一个质数且 $n>0$ ）。我们将证明：每个有限p-群有非平凡的中心。

因为 $G$ 的任意子群的指数必须整除 $G$ 的次数，所以每个 $H_{i}$ 等于 $p$ 的一个幂 $p^{k_{i}}$ ， $k_{i}>0$ 。类方程给出

$p^{n}=|G|=|Z(G)|+\sum _{i}p^{k_{i}}$

由于 $p$ 整除 $\sum _{i}p^{k_{i}}$ 和 $|G|$ ， $p$ 必须整除 $|Z(G)|$ ，所以 $|Z(G)|>1$。

子群和一般子集的共轭

更一般的来讲，给定任意G的子集S（S不必是子群），我们定义一个G的子集T为S的共轭，当且仅当存在某个g属于G满足T = gSg⁻¹。我们可以定义Cl(S)为所有共轭于S的子集T的集合。

一个常用的定理是，给定任意子集S，N(S)（S的正规化子）的指数等于Cl(S)的次数：

|Cl(S)| = [G : N(S)]

这是因为，如果g和h属于G，则gSg⁻¹ = hSh⁻¹当且仅当gh ⁻¹属于N(S)，换句话说，当且仅当g和h属于N(S)的同一个陪集。

注意这个公式推广了前面关于共轭类元素的个数的定理（S = {a}的特殊情况）。

上述定理在讨论G的子群时尤其有用。子群可以由此分为等价类，两个子群属于同一类当且仅当它们共轭。共轭子群是同构的，但是同构子群未必共轭（例如，交换群可以有两个不同的互相同构的子群，但是它们不可能共轭）。

作为群作用的共轭类

如果对于任意两个G中的元素g和x定义

g.x = gxg⁻¹

则我们有了一个G在G上的群作用。该作用的轨道就是共轭类，而给定元素的定点子群就是该元素的中心化子。

同样，我们可以定义一个在G的所有子群或者所有子集的集合上的G的群作用如下

g.S = gSg⁻¹。

参看

• 群
• 群作用
• 中心化子和正规化子

参考

• Herstein, I.N. Abstract Algebra, Wiley, ISBN 0-471-36879-2
• Dummit, David and Richard Foote. Abstract Algebra, Wiley, ISBN 0-471-43334-9
• Lang, Serge. Algebra, Springer, ISBN 0-387-95385-X