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本文介绍外代数中的运算。关于其他常称作
内积的相关二元运算,参见
内积。
在数学中,内乘(英语:interior product,或译内积)是光滑流形上的微分形式外代数上一个次数为 −1 导子,定义为微分形式与一个向量场的缩并。从而如果 X 是流形 M 上一个向量场,那么
![{\displaystyle \iota _{X}\colon \Omega ^{p}(M)\to \Omega ^{p-1}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3730939b412b118b52737a42016646f1f44cbcae)
是将一个 p-形式 ω 映为 (p−1)-形式 iXω,由性质
![{\displaystyle (\iota _{X}\omega )(X_{1},\ldots ,X_{p-1})=\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{p-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/795e7a6d2e62744223a7863f234cc6437a15e97d)
所定义,对任何向量场 X1,..., Xp−1。本质上来说,内乘可以定义在向量空间与外代数上,即只与流形的一点有关。
内乘也称为内乘法(interior 或 inner multiplication),或内导数(inner derivative 或 derivation)。
一些作者使用字母
代替
;内乘有时也写成
或者
。
由反对称性
-
所以 。
因为李导数与缩并可以交换,故:
-
这便得出两个向量李括号的内乘公式:
-
内乘与微分形式的外导数以及李导数的关系由嘉当恒等式给出:
-
这个等式在辛几何中非常重要:参见矩映射。