切比雪夫多项式

切比雪夫多项式（英语：Chebyshev polynomials）是与棣莫弗定理有关，以递归定义的一系列正交多项式序列。 通常，第一类切比雪夫多项式以符号T_n表示， 第二类切比雪夫多项式用U_n表示。切比雪夫多项式 T_n 或 U_n 代表 n 阶多项式。

切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。

在微分方程的研究中，切比雪夫提出切比雪夫微分方程：

$(1-x^{2})\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0$

和

$(1-x^{2})\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0$

相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。 这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形。

定义

第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定

$T_{0}(x)=1\,$

$T_{1}(x)=x\,$

$T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).\,$

也可以用母函数表示

$\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.$

第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出

$U_{0}(x)=1\,$

$U_{1}(x)=2x\,$

$U_{n+1}(x)=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).\,$

此时母函数为

$\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}.$

从三角函数定义

切比雪夫多项式

第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定

$T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )\,$

其中 n = 0, 1, 2, 3, .... . $\cos n\theta \,$ 是关于 $\cos \theta \,$ 的 n次多项式，这个事实可以这么看： $\cos n\theta \,$是:$(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=e^{in\theta }=\cos(n\theta )+i\sin n\theta \,$的实部（参见棣莫弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含$\sin \theta \,$的项中，$\sin \theta \,$都是偶数次的，从而可以表示成 $1-\cos ^{2}\theta \,$的幂 。

用显式来表示

$T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos(x)),&\ x\in [-1,1]\\\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (x)),&\ x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (-x)),&\ x\leq -1\\\end{cases}}$

尽管能经常碰到上面的表达式，但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有

${\begin{matrix}T_{n}(x)&=&\cos(n\arccos(x))\\&=&\mathrm {cosh} (n\,\mathrm {arccosh} (x))\end{matrix}}\ ,\quad \forall x\in \mathbb {R} .$

类似，第二类切比雪夫多项式满足

$U_{n}(\cos(\theta ))={\frac {\sin((n+1)\theta )}{\sin \theta }}.$

以佩尔方程定义

切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程

$T_{i}^{2}-(x^{2}-1)U_{i-1}^{2}=1\,\!$

在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见 Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:

$T_{i}+U_{i-1}{\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{i}.\,\!$

递归公式

两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:

$T_{0}(x)=1$

$U_{-1}(x)=1$

$T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)$

$U_{n}(x)=xU_{n-1}(x)+T_{n}(x)$

证明的方式是在下列三角关系式中用$\cos \vartheta$ 代替$x$

$T_{n+1}(x)=T_{n+1}(\cos \vartheta )={}$$\cos((n+1)\vartheta )={}$$\cos(n\vartheta )\cos \vartheta -\sin(n\vartheta )\sin \vartheta ={}$$T_{n}(\cos \vartheta )\cos \vartheta -U_{n-1}(\cos \vartheta )\sin ^{2}\vartheta ={}$$xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)$

正交性

T_n 和U_n 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系.

第一类切比雪夫多项式带权

${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},$

即:

$\int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\left\{{\begin{matrix}0&:n\neq m~~~~~\\\pi &:n=m=0\\\pi /2&:n=m\neq 0\end{matrix}}\right.$

可先令x= cos(θ) 利用 T_n (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.

类似地，第二类切比雪夫多项式带权

${\sqrt {1-x^{2}}}$

即:

$\int _{-1}^{1}U_{n}(x)U_{m}(x){\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\begin{cases}0&:n\neq m\\\pi /2&:n=m\end{cases}}$

其正交化后形成的随机变量是 Wigner 半圆分布).

基本性质

对每个非负整数$n$， $T_{n}(x)$ 和 $U_{n}(x)$ 都为 $n$次多项式。 并且当$n$为偶（奇）数时，它们是关于$x$ 的偶（奇）函数， 在写成关于$x$的多项式时只有偶（奇）次项。

$n\geq 1$时，$T_{n}$ 的最高次项系数为 $2^{n-1}$ ，$n=0$时系数为$1$ 。

最小零偏差

对$n\geq 1$，在所有最高次项系数为1的$n$次多项式中 ， $f(x)={\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)$ 对零的偏差最小，即它是使得$f(x)$在$[-1,1]$ 上绝对值的最大值最小的多项式。 其绝对值的最大值为${\frac {1}{2^{n-1}}}$ ， 分别在$-1$ 、 $1$ 及 $f$ 的其他 $n-1$ 个极值点上达到 。

两类切比雪夫多项式间的关系

两类切比雪夫多项式间还有如下关系：

${\frac {d}{dx}}\,T_{n}(x)=nU_{n-1}(x){\mbox{ , }}n=1,\ldots$

$T_{n}(x)={\frac {1}{2}}(U_{n}(x)-\,U_{n-2}(x)).$

$T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)\,$

$T_{n}(x)=U_{n}(x)-x\,U_{n-1}(x).$

切比雪夫多项式是超球多项式或盖根堡多项式的特例, 后者是雅可比多项式的特例.

切比雪夫多项式导数形式的递推关系可以由下面的关系式推出：

$2T_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\;{\frac {d}{dx}}T_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}\;{\frac {d}{dx}}T_{n-1}(x){\mbox{ , }}\quad n=1,2,\ldots$

例子

前六个第一类切比雪夫多项式的图像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按颜色依次是T₀, T₁, T₂, T₃, T₄ T₅.

前几个第一类切比雪夫多项式是

$T_{0}(x)=1\,$

$T_{1}(x)=x\,$

$T_{2}(x)=2x^{2}-1\,$

$T_{3}(x)=4x^{3}-3x\,$

$T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\,$

$T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x\,$

$T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\,$

$T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\,$

$T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\,$

$T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x.\,$

前六个第二类切比雪夫多项式的图像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按颜色依次是U₀, U₁, U₂, U₃, U₄ U₅. 虽然图像中无法显示,我们实际有 U_n(1)=n+1 以及 U_n(-1)=(n+1)(-1)ⁿ.

前几个第二类切比雪夫多项式是

$U_{0}(x)=1\,$

$U_{1}(x)=2x\,$

$U_{2}(x)=4x^{2}-1\,$

$U_{3}(x)=8x^{3}-4x\,$

$U_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2}+1\,$

$U_{5}(x)=32x^{5}-32x^{3}+6x\,$

$U_{6}(x)=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1.\,$

第一类切比雪夫多项式前几阶导数是

$T_{n}'(1)=n^{2}\,$

$T_{n}'(-1)=-(-1)^{n}*n^{2}\,$

$T_{n}''(1)=(n^{4}-n^{2})/3\,$

$T_{n}''(-1)=(-1)^{n}*(n^{4}-n^{2})/3\,$

按切比雪夫多项式的展开式

一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下：

$p(x)=\sum _{n=0}^{N}a_{n}T_{n}(x)$

多项式按切比雪夫多项式的展开可以用 Clenshaw递推公式计算。

切比雪夫根

两类的n次切比雪夫多项式在区间[−1,1]上都有n 个不同的根, 称为切比雪夫根, 有时亦称做 切比雪夫节点 ，因为是多项式插值时的 插值点 . 从三角形式中可看出T_n 的n个根分别是：

$x_{i}=\cos \left({\frac {2i-1}{2n}}\pi \right){\mbox{ , }}i=1,\ldots ,n.$

类似地， U_n 的n个根分别是：

$x_{i}=\cos \left({\frac {i}{n+1}}\pi \right){\mbox{ , }}i=1,\ldots ,n.$

参看

• 切比雪夫节点
• 切比雪夫滤波器

参考

• M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Chapter 22. New York: Dover, 1972.