初等阿贝尔群

在群论中，初等阿贝尔群是有限阿贝尔群，这里的所有非平凡元素都有 p 阶而 p 是素数。

通过有限生成阿贝尔群的分类，所有初等阿贝尔群必定有如下形式

(Z/pZ)ⁿ

对于非负整数 n。这里的 Z/pZ 指示 p 阶的循环群(或等价的整数模以 p)，而幂符号表示意味著 n 元笛卡尔积。

例子和形式

• 初等阿贝尔群 (Z/2Z)² 有四个元素: { [0,0], [0,1], [1,0], [1,1] }。加法是逐分量进行，结果要模以 2。例如，[1,0] + [1,1] = [0,1]。

• (Z/pZ)ⁿ 由 n 个元素生成，而 n 是最小的可能的生成元数目。特别是集合 {e₁, ..., e_n} 这里的 e_i 在第 i 个分量中为 1 而在其他地方为 0 是极小生成集合。

• 所有初等阿贝尔群都有非常简单的有限展示:

(Z/pZ)ⁿ $\cong$ < e₁, ..., e_n | e_i^p = 1, e_ie_j = e_je_i >

向量空间结构

假设 V = (Z/pZ)ⁿ 是初等阿贝尔群。因为 Z/pZ $\cong$ F_p，即 p 个元素的有限域，我们有 V = (Z/pZ)ⁿ $\cong$ F_pⁿ，所以 V 可以被认为是在域 F_p 上的 n-维向量空间。

机警的读者可能发现 F_pⁿ 有比群 V 更大的结构，特别是它除了(向量/群)加法之外还有标量乘法。但是 V 作为阿贝尔群有唯一一个 Z-模结构，这里的 Z 的作用对应于重复的加法，而这个 Z-模结构一致于 F_p 标量乘法。就是说，c·g = g + g + ... + g (c 次) 这里的 c 在 F_p 中(考虑为整数带有 0 ≤ c < p) 给予 V 一个自然的 F_p-模结构。

自同构群

作为向量空间 V 有如例子中那样的基 {e₁, ..., e_n}。如果我们选取 {v₁, ..., v_n} 为任何 V 的 n 个元素，则通过线性代数我们有映射 T(e_i) = v_i 唯一扩张为 V 的线性变换。每个这种 T 都可以被认为是从 V 到 V 的群同态(自同态)并同 V 的任何自同态一样可以被认为是 V 作为向量空间的线性变换。

如果我们限制注意力于 V 的自同构，我们有 Aut(V) = { T : V -> V | ker T = 0 } = GL_n(F_p)，即在 F_p 上的 n ×n 可逆矩阵的一般线性群。