化圆为方

化圆为方是古希腊数学里尺规作图领域当中的命题，和三等分角、倍立方问题被并列为尺规作图三大难题。其问题为：求一正方形，其面积等于一给定圆的面积。如果尺规能够化圆为方，那么必然能够从单位长度出发，用尺规作出长度为$\pi$的线段。

化圆为方：求一正方形，其面积和一已知圆的面积相同。

进入十九世纪后，随着群论和域论的发展，数学家对三大难题有了本质性的了解。尺规作图问题可以归结为判定某些数是否满足特定的条件，满足条件的数也被称为规矩数。所有规矩数都是代数数。而1882年，数学家林德曼证明了$\pi$为超越数，因此也证实该问题仅用尺规是无法完成的。

如果放宽尺规作图的限制或允许使用其他工具，化圆为方的问题是可行的。如借助西皮阿斯的割圆曲线，阿基米德螺线等。

背景简介

尺规作图法

主条目：尺规作图

在叙述化圆为方问题前，首先需要介绍尺规作图的意思。尺规作图问题是从现实中具体的“直尺和圆规画图可能性”问题抽象出来的数学问题，将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定，研究的是能不能在若干个具体限制之下，在有限的步骤内作出给定的图形、结构或其他目标的问题。在尺规作图中，直尺和圆规的定义是：

直尺：一侧为无穷长的直线，没有刻度也无法标识刻度的工具。只可以让笔摹下这个直线的全部或一部分。

圆规：由两端点构成的工具。可以在保持两个端点之间的距离不变的情况下，将两个端点同时移动，或者只固定其中一个端点，让另一个端点移动，作出圆弧或圆。两个端点之间的距离只能取已经作出的两点之间的距离，或者任意一个未知的距离。

定义了直尺和圆规的特性后，所有的作图步骤都可以归化为五种基本的步骤，称为作图公法：

• 通过两个已知点，作一直线。
• 已知圆心和半径，作一个圆。
• 若两已知直线相交，确定其交点。
• 若已知直线和一已知圆相交，确定其交点。
• 若两已知圆相交，确定其交点。

尺规作图研究的，就是是否能够通过以上五种步骤的有限次重复，达到给定的作图目标。尺规作图问题常见的形式是：“给定某某条件，能否用尺规作出某某对象？”比如：“给定一个圆，能否用尺规作出这个圆的圆心？”，等等。

问题叙述

化圆为方问题的完整叙述是：

“ 给定一个圆，是否能够通过以上说明的五种基本步骤，于有限次内作出一个正方形，使得它的面积等于圆的面积 ”

如果将圆的半径定为单位长度，则化圆为方问题的实质是作出长度为单位长度${\sqrt {\pi }}$倍的线段。

不可能性的证明

主条目：规矩数

圆周率的超越性

化圆为方问题是指已知单位长度1，要作出${\sqrt {\pi }}$的长度。这等价于从1开始作出$\pi$。然而，能够用尺规作出的数z都有对应的最小多项式。也就是说，存在有理系数的多项式m，使得

$m(z)=0.$

然而，1882年，林德曼等人证明了对于圆周率$\pi$来说，这样的多项式不存在。数学家将这样的数称为超越数，而将有对应的多项式的数称为代数数。所有规矩数都是代数数，而$\pi$不是，这说明用尺规作图是无法化圆为方的。

林德曼证明$\pi$的超越性用到了现在称为林德曼－魏尔斯特拉斯定理的结论。林德曼－魏尔斯特拉斯定理说明，如果若干个代数数$z_{1},z_{2},\cdots ,z_{n}$在有理数域$\mathbb {Q}$上线性独立，那么$e^{z_{1}},e^{z_{2}},\cdots ,e^{z_{n}}$也在$\mathbb {Q}$上线性独立。反设$\pi$是代数数，那么$\pi i$也是代数数。考虑代数数0和$\pi i$，由于$\pi i$是无理数，所以它们在$\mathbb {Q}$上线性独立。然而$e^{0}$和$e^{\pi i}$分别是1和-1，并非在$\mathbb {Q}$上线性独立，矛盾。这说明$\pi$不是代数数，而是超越数。

另见

• 印第安纳圆周率法案

外部链接

• HPM 通讯第6卷第6期, 3大作图题 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 介绍如何使用其他曲线（或几何特性）再加上尺规作图，来求解化圆为方问题。