哈密顿-雅可比-爱因斯坦方程

在广义相对论中，哈密顿-雅可比-爱因斯坦方程（英语：Hamilton–Jacobi–Einstein equation，简称HJEE）是一道哈密顿形式、描述超空间中的几何力学的方程。创于“几何力学年代”，这方程由艾雪·佩雷斯在60年代前后和其他人铸造。目的是更正广义相对论以令其成为量子理论的半古典近似，就像量子力学与古典力学一样对应关系。

这方程包含了全部10道爱因斯坦场方程式（EFEs），亦是古典力学中哈密顿-雅可比方程式（HJE）的修正，并可以从ADM形式中的爱因斯坦-希尔伯特作用量，以最小作用量原理推导。

背景及动机

古典与量子物理的对应关系

古典分析力学中的一个系统的动力学是由作用量S所概括。而各量子理论，即非相对论量子力学、相论对量子力学及量子场论，各有不同的诠释及数学形式，但一个系统的行为都是完全由一个复机率幅 Ψ（正式来说是量子态的ket |Ψ⟩－希尔伯特空间中的元素)。Eikonal的半古典近似给出

$\Psi ={\sqrt {\rho }}e^{iS/\hbar }$

当中Ψ的相位可被诠释为作用量，而模值√ρ = √Ψ*Ψ = |Ψ|则可被根据哥本哈根诠释为机率密度函数。约化普朗克常数ħ是“作用量的量子”。代入一般形式的薛丁格方程式（SE），则有

$i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\hat {H}}\Psi \,,$

取ħ → 0极限则得到古典的HJE：

$-{\frac {\partial S}{\partial t}}=H\,,$

这是对应原理其中一个结果。