单项式

数学上的单项式（英语：Monomial）是指只有一项的多项式。如 $x^{2}$ 、 $x$ 都是单项式。

单项式有两种不同的定义：

单项式，也称为幂乘积，是各变数自然数幂次的乘积，也可以说是变数之间的乘积，变数可能会重复出现，例如 $x^{2}yz^{3}=xxyzzz$ 即为单项式。常数 $1$ 也是单项式，等于空积，也等于 $x^{0}$ ， $x$ 可以对应任意变数。若只考虑单变数 $x$ ，则其单项式可能是 $1$ 或是 $x$ 的幂次 $x^{n}$ ，其中 $n$ 为正整数。若考虑多个变数，如 $x,y,z,$ ，每一个变数都可能有其幂次，因此单项式会是 $x^{a}y^{b}z^{c}$ ，其中 $a,b,c$ 是非负整数^{[注 1]}。
单项式也可以是上述定义的单项式，乘以一个非零的常数，称为单项式的系数。第一种定义下的单项式是这种定义当中，系数为 $1$ 的特例。例如 $-7x^{5}$ 和 $(3-4i)x^{4}yz^{13}$ 都是单项式（第二例中，变数是 $x,y,z,$ ，且其系数是复数）。

若在讨论洛朗多项式（英语：Laurent polynomial）和洛朗级数时，单项式的幂次可以是负数，若在讨论皮瑟级数（英语：Puiseux series）时，幂次可以是有理数。

二种定义的比较

在上述两种定义中，单项式都是多项式中的子集，且具有乘法封闭性。

在文献中这两种定义都有出现，在许多应用中可以忽略这两种定义之间的差异，这里有些第一个定义^[1]，以及第二个定义的例子^[2]。在非正式的讨论中不太需要区分其差异。一般是倾向使用范围较广的第二个定义。不过在研究多项式结构时，一般会需要用到第一个定义。例如在考虑多项式环的单项基函数（英语：monomial basis），或是此一基底的単项式顺序（英语：monomial order）。

以下的“单项式”会以上述的第一个定义为准。

单项基函数

所有的多项式都是单项式的线性组合，因此形成多项式向量空间的基，称为单项基函数（monomial basis）。

标示

在偏微分方程中常需要标示单项式。若用的变数是像 $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , ...之类用下标区隔的变数，则可以用多重指标表示，例如

\alpha =(a,b,c)

可以定义

x^{\alpha }=x_{1}^{a}\,x_{2}^{b}\,x_{3}^{c}

以简化标示。

注释

^ 其中若指数为 $0$ ，对应的幂次乘积会等于1

参考资料

^ Cox, David; John Little; Donal O'Shea. Using Algebraic Geometry. Springer Verlag. 1998: 1. ISBN 0-387-98487-9.
^ Hazewinkel, Michiel (编), Monomial, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4

[1] 其中若指数为 $0$ ，对应的幂次乘积会等于1

[2] Cox, David; John Little; Donal O'Shea. Using Algebraic Geometry. Springer Verlag. 1998: 1. ISBN 0-387-98487-9.

[3] Hazewinkel, Michiel (编), Monomial, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4

[注 1]

[1]

[2]

单项式

目录

二种定义的比较

单项基函数

标示

注释

相关条目

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