平方数
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数学上,平方数,或称完全平方数,是指可以写成某个整数的平方的数,即其平方根为整数的数。例如,9 = 3 × 3,它是一个平方数。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/27/X_square.png/350px-X_square.png)
平方数也称正方形数,若 n 为平方数,将 n 个点排成矩形,可以排成一个正方形。
若将平方数概念扩展到有理数,则两个平方数的比仍然是平方数,例如, (2 × 2) / (3 × 3) = 4/9 = 2/3 × 2/3。
若一个整数没有除了 1 之外的平方数为其因数,则称其为无平方数因数的数。
前n个平方数
- 02 = 0
- 412 = 1681
- 422 = 1764
- 432 = 1849
- 442 = 1936
- 452 = 2025
- 462 = 2116
- 472 = 2209
- 482 = 2304
- 492 = 2401
- 502 = 2500
表达式
编辑一个整数是完全平方数当且仅当相同数目的点能够在平面上排成一个正方形的点阵,使得每行每列的点都一样多。
12 = 1 | |
22 = 4 | |
32 = 9 | |
42 = 16 | |
52 = 25 |
- 通项公式
对于一个整数 n,它的平方写成 n2。n2等于头 n 个正奇数的和( )。在上图中,从1开始,第 n 个平方数表示为前一个平方数加上第 n 个正奇数,如 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 16 + 9。即第五个平方数25等于第四个平方数16加上第五个正奇数:9。
- 递归公式
每个平方数可以从之前的两个平方数计算得到,递推公式为 。例如,2×52 − 42 + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 62。
- 连续整数的和
平方数还可以表示成 n2 = 1 + 1 + 2 + 2 + ... + n − 1 + n − 1 + n。例如,42 = 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4。可以将其解释为在边长为 3 的矩形上添加宽度为 1 的一行和一列,即得到边长为 4 的矩形。这对于计算较大的数的平方数非常有用。例如, 522 = 502 + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704.
性质
编辑- 四平方和定理说明所有正整数均可表示为最多四个平方数的和。特别的,三个平方数之和不能表示形如 4k(8m + 7) 的数。若且唯若一个正整数可以表示因数中没有形如 4k + 3 的素数的奇次方,则它可以表示成两个平方数之和。[查证请求][来源请求][原创研究?]
- 在十进制中,平方数只能以 1,4,6,9 或 00 25 结尾。
- 若一个数以 0 结尾,它的平方数以 0 结尾(除 0 外,其他数字的个位和十位数字都是 0 ),且00前面的数也是平方数(例如:0x0=0、10x10=100)
- 若一个数以 1 或 9 结尾,它的平方数以 1 结尾,且前面的两位数字构成的两位数能被 4 整除(例如:1x1=1、11x11=121;9x9=81、19x19=361)
- 若一个数以 2 或 8 结尾,它的平方数以 4 结尾,且前面的一位数字为偶数(例如:2x2=4、12x12=144;8x8=64、18x18=324)
- 若一个数以 3 或 7 结尾,它的平方数以 9 结尾,且前面的两位数字构成的两位数能被 4 整除(例如:3x3=9、13x13=169;7x7=49、17x17=289)
- 若一个数以 4 或 6 结尾,它的平方数以 6 结尾,且前面的一位数字为奇数(例如:4x4=16、14x14=196;6x6=36、16x16=256)
- 若一个数以 5 结尾,它的平方数以 25 结尾,且前面的一位或两位数字必定为 0,2,06,56 之一,25前面的数是普洛尼克数(例如:5x5=25、15x15=225)
至于为什么祇能以00、25结尾,可以将该数字除以100。可以发现,n.5若写成分数形式,则为(2n+1)/2。设2n+1=p,则p与n互质。根据完全平方公式可得,( 2n/2 + 1/2 )^2=n^2 + 1 + 0.25。由于前面均为整数,所以最终结果小数部分必为.25。乘以100后,则最后两位必为25。
- 若一个数同时是2和3的倍数(也就是为6的倍数),它的平方数以 0 结尾,且前面的一位数字为0或3。
- 若一个数既不是2的倍数也不是3的倍数(也就是与12互质),它的平方数以 1 结尾,且前面的一位数字为偶数。
- 若一个数是2的倍数但不是3的倍数,它的平方数以 4 结尾,且前面的一位数字除以4的馀数为0或1(也就是说,前一位数为0,1,4,5,8,9)。
- 若一个数不是2的倍数而是3的倍数,它的平方数以 9 结尾,且前面的一位数字为0或6。
- 0以外的平方数每一位数数字相加之和,不停重复地相加到剩一位数时必定是 1, 4, 9, 7 。[注 3]
- 是否在相继正方形数之间存在一个素数这一命题,对9000000以内的数目是正确的。[3]
- 除了00以外,平方数末2位数若相同,必为44:如122=144,382=1444,622=3844。
- 除了000以外,平方数末3位数若相同,必为444:如382=1444,4622=213444。[4]
- 除了0000以外,平方数末4位数不可能相同。
- 除了0以外,平方数不可能是普洛尼克数。[注 4]。
- 除了0以外,平方数也不可能是连续若干个(至少两个)数的积。
- 除了0,1,144以外,平方数不可能是费波那契数。[5]
- 除了1跟4以外,平方数也不可能[来源请求]是卢卡斯数。[查证请求][来源请求][原创研究?]
- 除了0,1,169以外,平方数不可能[来源请求]是佩尔数。[查证请求][来源请求][原创研究?]
- 除了0,1,4,19600以外,平方数不可能是四面体数[6][7]。
- 除了1跟4900以外,平方数不可能是四角锥数。[查证请求][来源请求][原创研究?]
- 平方数不可能是楔形数。[查证请求][来源请求][原创研究?]
- 平方数是模任何整数的二次剩馀;另外,如果某个整数是模任何整数的二次剩馀,那么她一定是平方数。[查证请求][来源请求][原创研究?]
- 平方数的正因数总和(含自己)一定是奇数。[查证请求][来源请求][原创研究?]
- 平方数的正因数个数是奇数。[8]
- 当 时,不定方程 的正整数解(m , n)只有(1 , 1)与(24 , 70)。
注释
编辑参考资料
编辑- ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A062938 (a(n)= n*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1 = (n^2 +3*n + 1)^2.). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A028387. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ^ 《数论妙趣》267页[美国]阿尔伯特-贝勒著 谈祥柏译,上海教育出版社,ISBN 9787532054732。
- ^ Bernard Schott. Numbers m such that m^2 ends in 444.. 整数数列线上大全. 2019-10-31 [2023-05-27]. (原始内容存档于2023-05-27).
- ^ JOHN H. E. COHN. 〈Square Fibonacci Numbers, Etc.〉. Bedford College, University of London, London, N.W.1. [2019-05-12]. (原始内容存档于2012-06-30).
Theorem 3. If Fn = x2, then n = 0, ±1, 2 or 12.
- ^ D. Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Penguin Books, NY, 1986, 600.
- ^ D. Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, p. 165 (Rev. ed. 1997).
- ^ 郭耀元. 探討完全平方數在數論領域中之研究 (PDF). 私立高英高级工商职业学校. (原始内容 (PDF)存档于2018年1月6日).