德林费尔德模

在数学领域，德林费尔德模或椭圆模是一种特别的模，布于有限域上的代数曲线的坐标环上。粗略地说，德林费尔德模是复椭圆曲线的复乘法理论之函数域版本。

俄文单词 штука（英语拼音：shtuka 或 chtouca，源于德文的 Stück，意指物件或东西），又称F-层，是德林费尔德模的一种延伸，由曲线上的向量丛和其它关乎弗罗贝尼乌斯映射的资料组成。

弗拉基米尔·德林费尔德在1973年发明了德林费尔德模，随后推广到 штука，以证明函数域上的 $\mathrm {GL} (2)$ 郎兰兹猜想。洛朗·拉福格借由研究 n秩 штука的模叠与迹公式，在2002年证出 $\mathrm {GL} (n)$ 的情形。

德林费尔德模

加性多项式环

设 $L$ 为特征 $p>0$ 的域。定义其上的非交换多项式环 $L\{\tau \}$

a₀ + a₁τ + a₂τ² + ...

乘法由下述条件确定

\tau a=a^{p}\tau

元素 $\tau$ 可设想为弗罗贝尼乌斯映射。事实上， $L$ 是左 $L\{\tau \}$ -模，其中 $L$ 以乘法作用而 $\tau$ 以 $a\mapsto a^{p}$ 映射。环 $L\{\tau \}$ 也可以看作是如下多项式的集合

a_{0}X^{1}+a_{1}X^{p}+a_{2}X^{p^{2}}+\cdots =a_{0}\tau ^{0}+a_{1}\tau +a_{2}\tau ^{2}+\cdots \in L[X]

这类多项式满足 $f(X+Y)=f(X)+f(Y)\in L[X,Y]$ ，故称加性多项式；此环的乘法由多项式的合成给出，而非乘法，故非交换。

形式定义

今设 $A$ 为交换环，L 上的 德林费尔德 A-模定义为环同态 $\psi :A\to L\{\tau \}$ ，使得 $\psi (A)$ 不包含于 $L$ ；此条件意在排除一些平凡例子。环 $A$ 通常取作某条有限域上的仿射曲线的坐标环。

$L\{\tau \}$ 可视为加法群 $(L,+)$ 的自同态，而德林费尔德 A-模可视为 $A$ 在 $(L,+)$ 上的作用。

例子

置 $A:=\mathbb {F} _{p}[T]$ ，对应到亏格为一的仿射代数曲线。德林费尔德模 $\psi :A\to L\{\tau \}$ 仅依赖于像 $\psi (T)\in L\{\tau \}\setminus L$ 。此时德林费尔德模可等同于 $L\{\tau \}\setminus L$ 。对于亏格更高的曲线，德林费尔德模会更复杂。
承上，Carlitz 模是由 $\psi (T)=T+\tau$ ， $L$ 为含 $\mathbb {F} _{p}$ 的完备代数封闭域给出的德林费尔德模。此模首先由 Leonard Carlitz 在1935年展开研究，详见Goss 的著作第三章（页面存档备份，存于互联网档案馆）。

штука

设 $X$ 是有限域 $\mathbb {F} _{p}$ 上的代数曲线。对概形或叠 $U$ ，其上的秩 r （右）штука 由下列资料定义：

$U\times X$ 上的秩 r 局部自由层 $E,E'$ 及单射

E\rightarrow E'\leftarrow (\mathrm {Fr} ^{*}\times 1)^{*}E

其馀核的支撑集包括于某态射 $U\to X$ 的图（称为该 штука 的零点与极点，记为 $0$ 与 $\infty$ ），且在支撑集上是秩 $1$ 局部自由层。在此 $\mathrm {Fr}$ 表 $U$ 上的弗罗贝尼乌斯态射。

左 штука 的定义类似，但态射的方向反转；若极点与零点集互斥，则实际上无分左右。

粗略而言，考虑不同的 $U$ ，可得代数叠 $\mathrm {Sht} ^{r}$ 及 $\mathrm {Sht} ^{r}\times X$ 上的“万有 штука”，并有相对维度 $2$ 的平滑态射 $(\infty ,0):\mathrm {Sht} ^{r}\to X\times X$ 。注意到当 $r>1$ 时，叠 $\mathrm {Sht} ^{r}$ 并非有限型的。

德林费尔德模可在某种意义下视作特别的 штука（自定义观之，这绝非明显），详见 Drinfel'd, V. G. Commutative subrings of certain noncommutative rings. Funkcional. Anal. i Prilovzen. 11 (1977), no. 1, 11--14, 96. 。

应用

简言之，函数域上的郎兰兹猜想是关于 $\mathrm {GL} (n)$ 的尖点自守表示及某个伽罗瓦群的表示之间的对应。德林费尔德利用 штука 证明 $n=2$ 的情形。此猜想的难处在于构造满足特定性质的伽罗瓦表示，德林费尔德的高处在于从某个秩 $2$ штука 的模空间的 $\ell$ -进上同调入手，找出相应的伽罗瓦表示。

德林费尔德认为此法可延伸至 $n\geq 2$ 的情形。拉福格最后克服了其中的大量技术困难，完成证明。

文献

德林费尔德模

V. Drinfel'd, Elliptic modules (Russian) Math. Sbornik 94 (1974), English translation in Math. USSR Sbornik 23 (1974) 561-592.
D. Goss, Basic structures of function field arithmetic, ISBN 3-540-63541-6
Drinfel'd module （页面存档备份，存于互联网档案馆） in the Springer encyclopaedia of mathematics
G. Laumon, Cohomology of Drinfeld modular varieties I, II, Cambridge university press 1996

штука

Drinfel'd, V. G. Cohomology of compactified moduli varieties of F-sheaves of rank 2. (Russian) Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 162 (1987), Avtomorfn. Funkts. i Teor. Chisel. III, 107--158, 189; translation in J. Soviet Math. 46 (1989), no. 2, 1789-1821
Drinfel'd, V. G. Moduli varieties of F-sheaves. (Russian) Funktsional. Anal. i Prilozhen. 21 (1987), no. 2, 23--41. English translation: Functional Anal. Appl. 21 (1987), no. 2, 107-122.
D. Goss, What is a shtuka? （页面存档备份，存于互联网档案馆） Notices of the Amer. Math. Soc. Vol. 50 No. 1 (2003)

拉福格在郎兰兹猜想方面的工作

Lafforgue, L. Chtoucas de Drinfeld et applications. （页面存档备份，存于互联网档案馆） (Drinfeld shtukas and applications) Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Berlin, 1998). Doc. Math. 1998, Extra Vol. II, 563--570
Lafforgue, Laurent Chtoucas de Drinfeld, formule des traces d'Arthur-Selberg et correspondance de Langlands. (Drinfeld shtukas, Arthur-Selberg trace formula and Langlands correspondence) Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Beijing, 2002), 383--400, Higher Ed. Press, Beijing, 2002.
Gérard Laumon, The work of Laurent Lafforgue Archive.is的存档，存档日期2012-12-05 Proceedings of the ICM, Beijing 2002, vol. 1, 91--97
G. Laumon La correspondance de Langlands sur les corps de fonctions (d'apres Laurent Lafforgue) (The Langlands correspondence over function fields (according to Laurent Lafforgue)) Seminaire Bourbaki, 52eme annee, 1999-2000, no. 873