情境最佳化

情境最佳化（scenario optimization）也称为情境方法（scenario approach），是一种求解强健最佳化问题和机会约束规划（chance-constrained optimization）问题的方式，其方法会以一些约束的样本为基础。情境最佳化也和建模及决策中的归纳推理有关。此方法已以启发法的形式存在了数十年，近来开始探讨此方法系统化理论的基础。

简介

在最优化的应用中，强健性的特点会转变成一些拘束条件，其中的参数是问题中的未知量。在情境最佳化方法中，会用乱数取样的方式，找到一些乱数取样的拘束样本（启发法），这些拘束样本称为“情境”（scenarios），会先只根据这些拘束条件找到一个解，之后再配合其他方法求得这个解和其他拘束之间的强健性。此理论证实了在强健最佳化及机会约束最佳化中，使用乱数是合理的。

资料驱动的最佳化

有时情境的资讯是由模型中以乱数的方式拮取出来。不过更常见的是情境是从观测资料中找到的不确定事件（数据科学）。在后者的情形下，不需要不确定性的模型即可以产生情境。最值得注意的是，此情形下的情境最佳化伴随著的是 成熟的理论，因为所有情境最佳化的结果都和分布无关，因此可以应用在没有不确定性模型或是缺乏类似资讯的情形下。

理论结果

针对凸拘束（也就是和线性矩阵不等式有关的半定问题），已有深入的理论分析说明新的拘束无法满足的机率是依照以β分布为主的分布。针对所有凸优化问题的结果也是如此。再继续扩展，有许多实验等级的结果是依照狄利克雷分布，其边缘分布为β分布。也有探讨过配合$L_{1}$正则化的情境最佳化，也有便利的算法，可以简化运算的复杂度。有关更复杂、非凸拘束的研究是目前热门的研究主题。

配合情境最佳化，可以在风险和回报中取得权衡，而且有完整的方法可以将此结果应用在控制上。一开始先选择$N$个拘束开始进行最佳化，之后持续的移除其中的一些拘束，移除过程可以用不同的方式行，甚至是利用贪心法。每当多消除一个拘束后，会更新最佳化的解，也会得到对应最佳化的数值。在此程序持续进行时，可以得到经验式的“最佳值曲线”，也就是在移除多少数量的拘束后，最佳值的变化。情境最佳化可以针对各个解的强健性作准确的评估。

此技术一个很大的进步是透过wait-and-judge方法得到的：先评估解的复杂度（如前面所述），并根据其值的公式来评估解的强健性。这些结果可以看来复杂度和风险二个概念之间的深层关系。有一个相关的研究方式，称为“重复情形设计”（Repetitive Scenario Design），是用透过重复的交替情境设计的阶段（用较少的样本）再随机的确认其解的可行性，目的是要降低解的复杂度。

例子

考虑一函数$R_{\delta }(x)$为投资的获利，此函数和投资选择向量$x$及市场状态$\delta$有关，这些资讯在投资周期的最后会知道。

假设一个市场状态的随机模型，考虑有$N$个可能状态$\delta _{1},\dots ,\delta _{N}$ （乱数或是不确定性）。接著，可以从观察记录中找到情境$\delta _{i}$。

要求解以下的情境最佳化问题

$\max _{x}\min _{i=1,\dots ,N}R_{\delta _{i}}(x).\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

对应一个投资组合向量x，可以在最坏的情境下有最好的报酬。

在求解(1)后，可以得到最佳投资策略$x^{\ast }$，对应此情形的最佳报酬$R^{\ast }$。当. While $R^{\ast }$只根据$N$个可能的市场状态求得时，透过情境最佳化理论可以得到其强健性最大到$\epsilon$，意思是指，在其他的市场状态下，可达到报酬$R^{\ast }$达到的机率只有$1-\epsilon$。

在量化金融上，最坏条件的分析可能过于保守。另一种作法是不考虑一些奇怪的情形，以减少悲观情绪，而情境最佳化也可以用在其他风险度量中，例如CVaR（风险条件值，Conditional Value at Risk），因此增加使用灵活度。

应用领域

应用领域包括：预测、系统科学、回归分析、精算学、最优控制、数理金融学、机器学习、决策、供应链及管理学等。