意外绞刑悖论

意外绞刑悖论（英语：Unexpected hanging paradox），又称老虎悖论、突击测验悖论、意外考试悖论，是博弈论中一个著名的逻辑悖论，流传较广。而悖论是指一种导致矛盾的命题。

老虎悖论

有一天，某个国王要处决一个死囚，但给他一个免死的机会，如果可以证明我在说谎就把你放了。国王把囚犯带到一个房间，该房间有五道紧闭的门，其中一道门后面关着一只老虎。国王对囚犯说：“这五道门各有次序，你必须由第一道至第五道依序打开，其中一道门后有老虎，会把你咬死。但我可以肯定的是，在你没有打开那道有老虎的门之前，你万万料想不到老虎在哪一道门的后面。”显然，如果死囚预料到老虎在哪道门后面，就证明国王在撒谎，那么他就可以活命。所以开门之前，死囚进行了如下逻辑学的分析：假如老虎在第五道门，那把前四道门打开，都没发现老虎，那肯定猜到老虎在第五道门中，因国王说过死囚料想不到老虎在哪一道门，那国王的话就错了。所以，国王不会把老虎放在第五道门。同理，老虎也不在第四道门中，否则囚犯打开三道门之后，就只剩两道门，老虎既不在第五道门，就一定在第四道门，这样他就猜出老虎在哪了；以此类推，老虎不存在于任何一道门中；于是死囚心安了，冒冒失失地依次开门，结果老虎从第二道门中跳了出来，把囚犯咬死了。国王说：“我不是跟你说了，老虎在哪道门，你万万料想不到么？”

悖论分析

如果囚犯的推理成立，那么就算国王把老虎放在第五扇门后，也是“万万料想不到”，学者们争论的重点在于：这个推理究竟错在第几步？

主张错在第一步

如果第一步是正确的，那么后面几步为什么是错的？所以第一步就错了。错在囚犯把国王的思路作为论据。

首先必须定义怎样算国王所谓的“知道”（或“意料”），如果投机猜测算的话，那国王不论怎样放都不能保证不被猜中，所以带投机成分的猜测不能算“知道”（国王为了自身利益也会这么定义），设“知道”定义为“在即有事实下的逻辑推理”，那么囚犯不仅要正确预测老虎，还要对其预测给出严格的逻辑证明才行。本例中不考虑没有老虎的情况，即囚犯已知必有一头老虎。作为囚犯，他在每次打开一个门前都会进行逻辑推理，如果能推出老虎是在即将打开的门里就赢了，如果不能推出，他就只能打开这个门，如果打开后没有老虎就继续推理下一个门是否有老虎，依此类推。

然后，把问题从5个门，简化为只有2个门，囚犯会在打开第一个门之前，对第一个门里是否有老虎做逻辑推理：由于囚犯要引用国王的思路，故须先考虑国王思路是否是会错。

如果相信国王是不会错的，那么你不可能推测出第一个门里有没有，因为如果推测出就说明国王会错，所以在这个前提下不可能知道。囚犯无法推测出第一个门里有没有老虎，必然要打开第一个门。
如果相信国王是会错的：
囚犯首先认为国王放第二个门是错的，但国王既然是会错的，他为何不会按囚犯认为错误的思路放第二个门呢？所以国王的思路就没法唯一的推测了。囚犯失去国王的思路做论据，无法推测出第一个门里有没有老虎，必然要打开第一个门。

因此国王应且只应放到第一个门中，则国王必胜。

推广到n个门的情况，只要国王不把老虎放到最后一个门，则国王必胜，囚犯必败。

主张错在第二步

故事中的囚犯最后决定相信“没有老虎”。但，国王并不知道囚犯是否会这样，所以的确不可能把老虎放在第五扇门。如果囚犯决定相信“一定有老虎”，那么在前四扇门都没有老虎之后，第五扇门后的老虎的确就变成“可预料的”了。

既然老虎在第五扇门的话，它一定是“可预料的”，那么当你已经开了三扇空门时，情况是怎么样？我们可以试著写成逻辑式子：前提一、老虎不可预料。前提二、老虎如果在第五扇门时，可预料。前提三、老虎不在第五扇门时，就一定在第四扇门。前提四、老虎如果在第四扇门时，可预料。结论：前提互相矛盾。

请注意：这时的逻辑推理中，既然前提互相矛盾，必定有一个以上不成立，那么可能性就是以下四个其中之一、或是更多：

老虎可预料。
老虎如果在第五扇门时，不可预料。
老虎不在第五扇门时，也不一定在第四扇门。
老虎如果在第四扇门时，不可预料。

二和四自身是矛盾命题，不考虑，三会导致老虎变成薛定谔猫，也就是既存在亦非存在的状态（囚犯把老虎往前门推是错误的，因为前提中包含“已经开了三扇空门”）。所以可能性只有一个：老虎可预料。但若老虎可预料，那么显示国王说谎，如果国王可能说谎，那么老虎也真的有可能消失。

这时的正确结论是：国王一定说谎，但他的谎言可能是“老虎可预料”，却也可能是“根本没老虎”，囚犯只是偏心于一个可能性，结果帮国王圆谎罢了。

主张错在最后一步

如果“不可预料”并不是一种保证，而只意味“高机率”，“有老虎”才是保证，那么情况又整个改观。可以列成以下状况：

如果囚犯连猜五次“老虎不在”，则不可预料率100%，当然是最糟的状况。

如果囚犯连猜五次“老虎在”，这时应将不可预料率一样视为100%。假设国王随便放，因为平均猜错次数是两次，亦即猜错一次要加不可预料率50%才公平。

假设国王随便放，这时囚犯采用的策略，以：

先两次不猜，再连续猜老虎在：成功率0、0、100、50、0，平均30最高分
先三次不猜，再连续猜老虎在：成功率0、0、0、100、50，平均也是30最高分
但以上两种高分解，前两扇门都是安全门，必须混合下列解答灵活运用
如果第一次就猜老虎在：成功率100、50、0、-50、-50，平均只有10分
如果第二次就猜老虎在：成功率0、100、50、0、-50，平均也有20分
为了便于计算，假设这四种策略囚犯都平均运用，综合以上，老虎放在不同门的平均不可预料率，75%、87.5%、75%、50%、100%

很明显了，这时国王的对应策略，如果把老虎放在失分最低的第五扇门，可能被囚犯豪赌赌中，所以把老虎放在失分次低的第二扇门会是最佳选择，只要把囚犯的猜中率压在20%以下，都可以毫无愧色说是有很高的不可预料率。

他应该从“老虎不存在”这个矛盾的结论，导出国王所谓的“不可预料”其实是指机率，再从机率上推测国王到底把老虎放在第几个门。

意外绞刑悖论

一位司法大臣宣布，将于礼拜一到礼拜天之间，出乎囚犯意料之外的一天，对某一位死囚处以绞刑，并会在前一天事先宣布。

该死囚开始逻辑推论：从礼拜一到礼拜天都可能处死我，而我是不知道究竟会是哪一天，所以哪一天都算是出乎我的意料之外。可是假设我顺利的活到了礼拜六，我不就可以确定要在礼拜天把我杀了？这样的话，就在我的意料之中了。礼拜天已经被排除了，如果我活到了礼拜五，我又可以确信不会在礼拜六处刑，如果礼拜六要杀我，也算是我的意料之中。如果继续往前推的话，他不能在任何一天把我绞死。”

可是到了礼拜三，他却得到了次日要把他送上绞刑架的消息。事实上，这是他没有预料到的。

解疑

死囚的推论几乎都是假设。事实上在礼拜天以外的任何一日处死他，对他来说都是意料之外的。

突击测验悖论

一名老师宣布：“下星期一至星期五之中，会有一天举行突击测验，所谓突击测验，就是在你们猜不到的日子考试。”学生们进行逻辑推理，若假设直到星期四还未考，那么星期五就会考，那就不算突击，因此星期五不可能考。若星期三没考，而星期五又不会考，大家就知道礼拜四会考……也算不了突击。以此类推，老师根本不可能进行突击测验。可实际上突击测验的决定权在老师身上，礼拜二老师就发了考卷。

外部链接

Paradox Lost,Ian Stewart （页面存档备份，存于互联网档案馆）