拉克斯-米尔格拉姆定理

拉克斯－米尔格拉姆定理是数学泛函分析的定理，以彼得·拉克斯和阿瑟·米尔格拉姆命名。这定理可用来藉弱形式求解偏微分方程，因此主要用作有限元法的理论基础。

叙述

设

${\mathcal {H}}$ 是实希尔伯特空间，其内积记作 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ，导出范数 $\|\cdot \|$ ，
$a(\cdot ,\cdot )$ 是双线性型，使得

在 ${\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}$ 上连续：

\exists \,c>0,\forall (u,v)\in {\mathcal {H}}^{2}\,,\ |a(u,v)|\leq c\|u\|\|v\|

，

在 ${\mathcal {H}}$ 上强制（有称为 ${\mathcal {H}}$ －椭圆性)：

\exists \,\alpha >0,\forall u\in {\mathcal {H}}\,,\ a(u,u)\geq \alpha \|u\|^{2}

，

$L$ 是 ${\mathcal {H}}$ 上的连续线性型。

那么存在唯一的 $u\in {\mathcal {H}}$ ，使得对所有 $v\in {\mathcal {H}}$ 都有 $a(u,v)=Lv$ ：

(1)\quad \exists !\ u\in {\mathcal {H}},\ \forall v\in {\mathcal {H}},\quad a(u,v)=Lv

。

而且如果 $a$ 是对称的，那么 $u$ 是 ${\mathcal {H}}$ 中唯一的元素，使得以下泛函取最小值 $J:{\mathcal {H}}\rightarrow \mathbb {R}$ ， $J(v)={\tfrac {1}{2}}a(v,v)-Lv$ 对所有 $v\in {\mathcal {H}}$ ，即：

(2)\quad \exists !\ u\in {\mathcal {H}},\quad J(u)=\min _{v\in {\mathcal {H}}}\ J(v)

。

证明

一般情形

套用里斯表示定理到连续线性型上，可知存在唯一的 $f\in {\mathcal {H}}$ ，使得 $Lv=\langle f,v\rangle$ 对任意 $v\in {\mathcal {H}}$ 成立。

对所有 $u\in {\mathcal {H}}$ ，映射 $v\mapsto a(u,v)$ 是 ${\mathcal {H}}$ 上连续线性型，因此同样可知存在唯一的 $A_{u}\in {\mathcal {H}}$ ，使得 $a(u,v)=\langle A_{u},v\rangle$ 对任意 $v\in {\mathcal {H}}$ 成立。易知算子 $A:u\mapsto A_{u}$ 是一个 ${\mathcal {H}}$ 上连续线性自同态。由此可把 $(1)$ 表示成如下等价形式：

\exists !\ u\in {\mathcal {H}},\ Au=f

要证明此命题，只要证得 $A$ 是从 ${\mathcal {H}}$ 到 ${\mathcal {H}}$ 的双射。首先证明它是单射，再证它是满射。

从 $a$ 的强制性，使用柯西－施瓦茨不等式，得到对任何 $v\in {\mathcal {H}}$

\alpha \|v\|^{2}\leq a(v,v)=\langle Av,v\rangle \leq \|Av\|\|v\|

从而知对任何 $v\in {\mathcal {H}}$

\|Av\|\geq \alpha \|v\|

(*)。

这证明了 $A$ 是单射。

要证明满射，考虑算子 $A$ 在 ${\mathcal {H}}$ 内的像 ${\mathcal {Z}}$ 。

不等式(*)表示，如 $Au_{n}$ 是柯西序列，那么 $u_{n}$ 是 ${\mathcal {H}}$ 内的柯西序列。由 ${\mathcal {H}}$ 的完备性， $u_{n}$ 收敛至 $u\in {\mathcal {H}}$ 。因 $A$ 连续，得出 $Au_{n}$ 收敛至 $Au$ 。