无穷小应变理论

无穷小应变理论(infinitesimal strain theory)也称为无限小应变理论,是连续介质力学中描述固体形变的数学分析法,适用在其形变量远小于物体尺寸(无穷小量)的情形,因此若是均质材料,可以假设材料每一点的结构性质(密度刚度)都相等,不会随变形而不同。

在此假设下,连续介质力学的方程可以简化。此作法也称为是小形变理论小位移理论小位移梯度理论。无穷小应变理论和有限应变理论的假设恰好相反,后者假设形变量没有远小于物体尺寸。

无穷小应变理论常用在土木工程机械工程中,其中会进行结构的应力分析英语stress analysis,而材料是用强度较高的混凝土制成,而结构设计的目标也是在一般结构荷重下,希望其形变量可以降到最小。不过若分析的结构物是较细较薄,较容易变形的元件(例如杆、平板及薄壳),用无限小应变理论来分析就不可靠了[1]

无穷小应变张量

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连续体的无限小变形中(位移梯度张量远小于1,也就是 ),可以用有限应变理论中的任何一个有限应变张量(例如拉格朗日有限应变张量 ,或是尤拉有限应变张量 )进行线性化。在线性化中,可以省略有限应变张量中的二次项或是非线性项,因此可得

   以及   

线性化意味著连续体中特定点的物质坐标(material coordinate)和空间坐标(spatial coordinate)差异很小,拉格朗日描述和尤拉描述近似相等。因此,物质位移梯度张量和空间位移梯度张量的分量也相近相等。可得    其中  是无穷小应变张量(也称为柯西应变张量、线性应变张量、小应变张量)的分量。

  或者使用不同的表示方式:  

进一步来说,因为形变梯度可以表示成  其中 是二阶单位张量,可得  

另外,根据拉格朗日有限应变张量及尤拉有限应变张量的通用表示法,可得  

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参考资料

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  1. ^ Boresi, Arthur P. (Arthur Peter), 1924-. Advanced mechanics of materials. Schmidt, Richard J. (Richard Joseph), 1954- 6th. New York: John Wiley & Sons. 2003: 62. ISBN 1601199228. OCLC 430194205. 

外部链接

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