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星形四角化菱形十二面体堆砌

在几何学中，星形四角化菱形十二面体堆砌（Stellated rhombic dodecahedral honeycomb）是位于三维空间的一种密铺结构或堆砌体，由星形四角化菱形十二面体独立堆积而成[2][3][4]。虽然这种几何结构中的每个胞都全等，但由于其组成不是半正多面体或其对偶，因此并不属于28种半正密铺。不过这种几何结构仍然存在胞可递、边可递和点可递等特性。由于这种几何结构由非凸的星形多面体组成[5]，部分文章将其称为复杂的三维填充结构[6]。

星形四角化菱形十二面体堆砌
类型堆砌
维度3
性质
胞星形四角化菱形十二面体
面等腰三角形
对称性
对称群D3v[1]
特性
胞可递

性质

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在星形四角化菱形十二面体堆砌中，每个顶点周围皆有有6个星形四角化菱形十二面体，且全由星形四角化菱形十二面体组成，因此其具有胞可递的特性，这意味著，这几何结构上的任意两个面A和B，透过旋转或镜射这个几何结构，使A移动到B原来的位置时，其胞仍然占据了相同的空间区域[7]。同时，星形四角化菱形十二面体堆砌也存在边可递的特性。由于这个几何结构的每个顶点都是6个星形四角化菱形十二面体的公共顶点，因此也存在点可递的特性。

星形四角化菱形十二面体堆砌可以视为菱形锥堆砌与菱形十二面体堆砌的部分组合。星形四角化菱形十二面体可透过将菱形十二面体分割成12个菱形锥重新排列组成四角化菱形十二面体。因此整体结构可以视为菱形十二面体堆砌中四角化菱形十二面体与邻近的四角化菱形十二面体对应菱形锥堆砌的其中一个菱形面组成星形四角化菱形十二面体。[8][9]当中共用的部分代表著施瓦茨D曲面的局部结构[10]。

 
菱形十二面体分割成12个菱形锥重组为星形四角化菱形十二面体 		 
菱形锥堆砌的其中一个菱形锥的位置 		 
菱形十二面体堆砌的局部 		 
星形四角化菱形十二面体堆砌的局部 		 
菱形十二面体堆砌、立方体堆砌的渐变过程

胞的组成

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主条目：星形四角化菱形十二面体

星形四角化菱形十二面体堆砌的胞为星形四角化菱形十二面体，其由48个面、72条边和26个顶点组成。[11]

 

在这个堆砌结构中，其胞的晶格向量为：[12]

 
 
 

参见

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参考文献

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  1. Ellery B. Golos; Daniel D. Joseph. Patterns in mathematics. Prindle, Weber & Schmidt. 1981. ISBN 978-0-87150-301-5. 
  1. ^ Maurice Starck, three non convex space-filling polyhedra (Eduard Bobik), examples of space filling polyhedra, Site de Mathématiques, ac-noumea.nc, October 2017 
  2. ^ Ioana Mihaila. Tessellations from Group Actions and the Mystery of Escher’s Solid (PDF). [2013-05-09]. （原始内容存档于2013-06-27）. 
  3. ^ George Hart. Stellations. [2019-09-05]. （原始内容存档于2018-11-30）. 
  4. ^ Joyce Frost, Peg Cagle. An Amazing, Space-Filling, Non-regular Tetrahedron. Park City Mathematics Institute Geometrical Concepts from Constructions, Models, and Investigations. [2019-09-09]. （原始内容存档于2020-09-17）. 
  5. ^ de Graaf, Joost and van Roij, René and Dijkstra, Marjolein. Dense regular packings of irregular nonconvex particles. Physical Review Letters (APS). 2011, 107 (15): 155501. 
  6. ^ Exploring a complex space-filling shape (PDF). Exploratorium. （原始内容 (PDF)存档于2010-12-16）. 
  7. ^ McLean, K. Robin, Dungeons, dragons, and dice, The Mathematical Gazette, 1990, 74 (469): 243–256, JSTOR 3619822 .
  8. ^ Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979: 168. ISBN 0-486-23729-X. 
  9. ^ Gailiunas, Paul. Some unusual space-filling solids. The Mathematical Gazette (Cambridge University Press). 2004, 88 (512): 230–241. The well-known packing of stellated rhombic dodecahedra produced by transforming Figure 6 
  10. ^ Gailiunas, Paul. "Helical Petrie Polygons" (PDF). Bridges Finland Conference Proceeding. archive.bridgesmathart.org: 135––140. [2019-09-29]. （原始内容 (PDF)存档于2019-09-29）. 
  11. ^ David I. McCooey. Other Solids: Escher's Solid. dmccooey.com. 2015 [2019-09-02]. （原始内容存档于2019-09-05）. 
  12. ^ PH03: Escher's Solid, "Dense Regular Packings of Polyhedra" (PDF), Utrecht University Faculty of Science, [2019-09-09], （原始内容存档 (PDF)于2020-11-12） 
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