概率论中,朗道分布(英语:Landau distribution[1]是因物理学家列夫·朗道而得名的一种概率分布。由于它所具有的“长尾”现象,这种分布的各阶(如数学期望与方差)都因发散而无法定义。这种分布是稳定分布的一个特例。

朗道分布
概率密度函数

参数

— 宽度参数

— 位置参数
值域
概率密度函数
期望值 无定义
方差 无定义
矩生成函数 无定义
特征函数

定义

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标准朗道分布的概率密度函数由以下积分式表示,

 

其中c为任意正实数,log 为自然对数。可以证明,上式结果与c的取值无关。在复平面上做围道积分,可得到便于计算的实积分式,

 

上式即   的标准朗道分布概率密度函数。通过将标准朗道分布扩展到一个位置-尺度分布族,就可以获得完整的朗道分布族

 

特征函数可表示如下,

 

两个实参数的取值范围   ,调整   分别实现朗道分布的平移和缩放[2]

相关性质

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朗道分布在   的近似

从特征函数出发可以推导出:

  • 平移:若   
  • 缩放:若   
  • 可加性:若   

以上三条性质保证了朗道分布是一种稳定分布,它的稳定参数和偏度参数  [3]

  时,朗道分布可以近似表示为[4][5]

 


参考文献

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  1. ^ Landau, L. On the energy loss of fast particles by ionization. J. Phys. (USSR). 1944, 8: 201. 
  2. ^ Meroli, S. Energy loss measurement for charged particles in very thin silicon layers. JINST. 2011, 6: 6013. 
  3. ^ Gentle, James E. Random Number Generation and Monte Carlo Methods. Statistics and Computing 2nd. New York, NY: Springer. 2003: 196. ISBN 978-0-387-00178-4. doi:10.1007/b97336. 
  4. ^ Behrens, S. E.; Melissinos, A.C. Univ. of Rochester Preprint UR-776 (1981). 
  5. ^ Interaction of Charged Particles. [14 April 2014]. (原始内容存档于2012年6月30日).