格罗莫夫(Gromov)积度量几何的一个概念,以米哈伊尔·格罗莫夫命名。在一个测地度量空间中,从同一点出来的两条测地线,格罗莫夫积大概量度这两条线彼此相近而行的距离。不过,格罗莫夫积的定义并不需要测地线存在。[1]

格罗莫夫积可用以定义格罗莫夫双曲空间及其理想边界。

定义

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 为度量空间,  中三点,则  为基点的格罗莫夫积定义为

 

性质

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  • 对称性 
  • 若基点和另一点相同,格罗莫夫积为零:  
  • 以下关系式成立:
 
 
 
 
 
  •  ,则对 中任意三点  是从  的两条线段重合部份的长度。
  •  为测地度量空间。记 为连接点 的一条测地线段。(注意连接此两点的测地线段未必唯一。)对 中任意三点 有不等式:
 
  • 格罗莫夫双曲空间其中一个定义为:[2]
 为常数。度量空间 称为δ-双曲,若 中任意点 都符合不等式
 

参考

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  1. ^ Mikhail Gromov, Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75--263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.
  2. ^ É. Ghys and P. de la Harpe (éd.), Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990.