格雷码

格雷码（循环二进制单位距离码）是任意两个相邻数的代码只有一位二进制数不同的编码，它与奇偶校验码同属可靠性编码。

简介

格雷码（Gray code）是由贝尔实验室的Frank Gray在1940年提出，用于在PCM（脉冲编码调变）方法传送讯号时防止出错，并于1953年三月十七日取得美国专利。格雷码是一个数列集合，相邻两数间只有一个位元改变，为无权数码，且格雷码的顺序不是唯一的。

格雷码能避免讯号传送错误的原理

传统的二进位系统例如数字3的表示法为011，要切换为邻近的数字4，也就是100时，装置中的三个位元都得要转换，因此于未完全转换的过程时装置会经历短暂的，010,001,101,110,111等其中数种状态，也就是代表著2、1、5、6、7，因此此种数字编码方法于邻近数字转换时有比较大的误差可能范围。格雷码的发明即是用来将误差之可能性缩减至最小，编码的方式定义为每个邻近数字都只相差一个位元，因此也称为最小差异码，可以使装置做数字步进时只更动最少的位元数以提高稳定性。 数字0～7的编码比较如下：

十进位 　 格雷码　二进位

0  　　 000    000
1  　　 001    001
2   　　011    010
3   　　010    011
4   　　110    100
5   　　111    101
6   　　101    110
7   　　100    111

直接排列

以二进制为0值的格雷码为第零项，第一项改变最右边的位元，第二项改变右起第一个为1的位元的左边位元，第三、四项方法同第一、二项，如此反复，即可排列出n个位元的格雷码。

镜射排列

二进位格雷码镜射建构法

n位元的格雷码可以从n-1位元的格雷码以上下镜射后加上新位元的方式快速的得到，如右图所示一般。

二进位数转格雷码

（假设以二进制为0的值做为格雷码的0）
G：格雷码 B：二进制码 n：正在计算的位
根据格雷码的定义可得：
G(n) = B(n+1) XOR B(n)
即
G(n) = B(n+1) + B(n)
自低位至高位运算即可，无需考虑进位，例略。

2位元格雷码 00 01 11 10

3位元格雷码 000 001 011 010 110 111 101 100

4位元格雷码 0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1101 1111 1110 1010 1011 1001 1000

4位元2进制原始码 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

格雷码转二进位数

由于G(n) = B(n+1) + B(n)
故而B(n) = B(n+1)-G(n)
自高位至低位运算即可，无需考虑借位。

例： 格雷码0111，为4位数，故设二进制数自第5位至第1位分别为：0 b3 b2 b1 b0。
b3= 0-0 =0
b2=b3-1=0-1=1
b1=b2-1=1-1=0
b0=b1-1=0-1=1
因此所转换为之二进位码为0101

应用

• 格雷码与相位移在三维曲面量测：利用格雷码投射在微型曲面做量测 一个非接触式、投影的方法光学测量。
• 在化简逻辑函数时，可以通过按格雷码排列的卡诺图来完成。

和格雷码有相同数学模式的玩具

中国的古老益智玩具九连环有著和格雷码完全相同的数学模式，外国一款名为spin out的玩具也是运用相同的数学模式。

参考来源

文献

• 柯利弗德·皮寇弗; 陈以礼（翻译）. The Math Book:From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics [数学之书]. 时报文化. 2013-04-16. ISBN 978-957-135-699-0 （中文（繁体））.