正一百二十胞体

正一百二十胞体
（120胞体）
正一百二十胞体; （120胞体）
类型	正多胞体
家族	正五边形形、正十二面体形
对偶多胞形	正六百胞体
数学表示法
考克斯特符号; （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	{5,3,3}
性质
胞	120 (5.5.5)
面	720 {5}
边	1200
顶点	600
组成与布局
顶点图	; (3.3.3)
对称性
对称群	H4, [3,3,5]，order14400
特性
	凸集
	查; 论; 编;

几何学中，正一百二十胞体是四维凸正多胞体，施莱夫利符号是{5,3,3}，有时候会视为正十二面体的四维类比。

正一百二十胞体的边界有120个正十二面体胞、720个正五边形面、1200条边和600个顶点。每一顶点有4个正十二面体、6个正五边形、4条边相接。每一条边有3个正十二面体和3个正五边形相接。

正一百二十胞体的对偶多胞体是正六百胞体。正一百二十胞体的顶点图是正四面体。

可视化

性质

正一百二十胞体的顶点图是正四面体，棱图是正三角形，若其棱长为a，则其超体积为 ${\cfrac {15(105+47{\sqrt {5}})a^{4}}{4}}$ ，表体积是(450+210√5)a³。其二胞角是144°，这意味着它不能独自完成四维欧几里得空间的堆砌，但戴维斯首先描述了四维双曲空间的一种正一百二十胞体堆砌，这种存在于紧凑双曲流形的堆砌有施莱夫利符号{5,3,3,5}。

若一个正一百二十胞体的棱长为1，则其外接超球的半径为 ${\begin{smallmatrix}{\frac {{\sqrt {10}}+3{\sqrt {2}}}{2}}\approx 3.702459174\end{smallmatrix}}$ ,其外中交超球（经过正一百二十胞体每条棱的中点的三维超球）半径为 ${\begin{smallmatrix}{\frac {{\sqrt {15}}+2{\sqrt {3}}}{2}}\approx 3.668542481\end{smallmatrix}}$ ，其内中交超球（经过正一百二十胞体每个面的中心）半径为 ${\begin{smallmatrix}{\frac {\sqrt {10(29{\sqrt {5}}+65)}}{10}}\approx 3.603414649\end{smallmatrix}}$ ,其内切超球半径为 ${\begin{smallmatrix}{\frac {3{\sqrt {5}}+7}{4}}\approx 3.427050983\end{smallmatrix}}$ 。

顶点坐标

如果以其中心为原点，正一百二十胞体600个顶点坐标是以下的全排列：

(0, 0, ±2, ±2)

(±1, ±1, ±1, ±√5)

(±φ-2, ±φ, ±φ, ±φ)

(±φ-1, ±φ-1, ±φ-1, ±φ2)

及以下的全偶排列：

(0, ±φ-2, ±1, ±φ2)

(0, ±φ-1, ±φ, ±√5)

(±φ-1, ±1, ±φ, ±2)

（φ是黄金分割，(1+√5)/2）

对称群构造

正一百二十胞体与正六百胞体一样具有H₄对称群构造，对应施莱夫利符号{5,3,3}，Coxeter-Dynkin符号。拥有H_n对称群的凸正多胞形属于类五边形形家族，这个家族在五维及以后就只有双曲堆砌成员。

特殊结构

两个互相“交织”（实是相邻，交织是四维超球曲率导致的结果）的“大圆”

大圆结构

对于正一百二十胞体来说，其与其三维类比正十二面体的不同之处之一就是构成正一百二十面体的表面——正十二面体的对面是平行的，这意味着如果把正一百二十胞体当作超球面堆砌的话，会有10个胞以平行的对面首尾相接，构成大圆（这种大圆在不同方向上有12个）。（从这点中可以不用解析几何求导就可以求出二胞角，它等于正十边形的内角144°）。

分层结构

同时，我们也可以把其中一个上文所述的这种大圆当作“赤道”，以“纬度”把正一百二十胞体的胞分成9层，每层分别有1（北极）、12（北极圈）、20、12（北回归线）、30（赤道）、12（南回归线）、20、12（南极圈）、1（南极）个胞，每两层的仰角相差36°。

外部链接

120-cell （页面存档备份，存于互联网档案馆）正一百二十胞体的一些很好的2维投影
Polytopes （页面存档备份，存于互联网档案馆）网页中段有正一百二十胞体的很好的除去隐藏细节3维投影
eusebeia.dyndns.org 逐层解剖了正一百二十胞体的表面分层结构
Regular Convex Four-Dimensional Polytopes 提供了正一百二十胞体的部分几何数据

其它参考

哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特, Regular Polytopes, 第三版, Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8.

四维正多胞体
正五胞体	超立方体	正十六胞体	正二十四胞体	正一百二十胞体	正六百胞体
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}