泊松李群 (Poisson-Lie group) 是一种几何结构,也是李群泊松流形,而且两种结构自洽。它的李群直积 是泊松映射。它是经典力学和泊松几何学的有力的例子,也是表示论研究对象之一。 它在无穷小尺度的形式就是李双代数

定义

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泊松-李群是一个具有泊松括号李群  ,其群乘法定义为  ,其中  泊松映射,其中流形   赋予了乘积泊松流形的结构。

对于泊松李群,以下等式恒成立:

 

其中约定   是定义在泊松李群上的实数值的光滑函数 为群中任意的元素,  为元素的左乘,  为元素的右乘。

  为泊松李群   对应的泊松双向量(Poisson bivector),上述恒等式有等价形式:

 

特别的,如果取   , 以上等式即为   。对单位元   使用韦恩斯坦分裂定理页面存档备份,存于互联网档案馆)(Weinstein splitting theorem),可得知非平凡的泊松李群一定不具有辛结构,甚至不具有恒定的

参考书目

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