玻尔半径

尼尔斯·玻尔于1913年提出了原子构造的波耳模型，其中电子环绕着原子核运转。模型中提及电子只会在特定的几个距离（视能量而定）环绕原子核运转。而最简单的原子──氢原子──只有一个电子轨道，该轨道也是电子可运行的最小轨道，其能量是最小的，从原子核向外找到此轨道的最可能距离就被称为波耳半径。

数值及定义

根据科学技术数据委员会（CODATA）2014年的数据，波耳半径的值为5.2917721067(12)×10⁻¹¹公尺（即约53皮米或0.53埃格斯特朗）。括号内的数字代表最后数位的不确定度。此值能用其他物理常数计算出：

$a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{e}e^{2}}}={\frac {\hbar }{m_{e}\,c\,\alpha }}$

其中：

$\epsilon _{0}\$ 为真空电容率

$\hbar \$ 为约化普朗克常数

$m_{e}\$ 为电子质量

$e\$ 为电子电荷

$c\$ 为真空中光速

$\alpha \$ 为精细结构常数

物理意义

尽管波耳模型并没有正确地描述原子，波耳半径还是保有了它的物理意义，代表着电子云大小的完全量子力学描述。因此波耳半径常被用于原子物理学。（见原子单位）

要注意的是波耳半径并没有包括约化质量的效应，所以在其他包括了约化质量的模型中，并不能准确地等于氢原子电子的轨道半径。这是为了方便而设的：上述方程定义的波耳半径适用于氢原子以外的其他原子，而它们的约化质量修正值都不同。如果波耳半径包括了氢原子的约化质量，就有需要加入一个复杂的修正值来使方程适用于其他原子。

电子的波耳半径是一组三个互相关联的长度单位中的一个，其他两个是电子的康普顿波长$\lambda _{e}\$及古典电子半径$r_{e}\$。波耳半径是由电子质量$m_{e}$，约化普朗克常数$\hbar \$及电子电荷$e\$所得出的。这三个长度单位中的任一个都能用其馀两个及精细结构常数$\alpha \$表示。

$r_{e}={\frac {\alpha \lambda _{e}}{2\pi }}=\alpha ^{2}a_{0}$

包括了约化质量效应的波耳半径能由下列方程求出：

$\ a_{0}^{*}\ ={\frac {\lambda _{p}+\lambda _{e}}{2\pi \alpha }}$

其中

$\lambda _{p}\$ 为质子的康普顿波长

$\lambda _{e}\$ 为电子的康普顿波长

$\alpha \$ 为精细结构常数

在上述方程中，约化质量所产生的效应由增加的康普顿波长表示，即电子及质子的康普顿波长之和。

参考资料

• 科学技术数据委员会网站上的波耳半径数据 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 物理学上的长度比例──波耳半径