理想的根

在数学中的环论领域，一个理想的根是一个较大的理想，它约略是该理想的某种闭包。根理想是等于其自身的根的理想。

理想的根又可分为雅各布森根与幂零根，前者较后者为大。

交换环的幂零根

设 $R$ 为交换环， $I\subset R$ 为其理想。该理想的幂零根 $\mathrm {Rad} (I)$ （或 ${\sqrt {I}}$ ）定义为

{\hbox{Rad}}(I)=\{r\in R|\exists n,\;r^{n}\in I\ \}

。

由二项式定理可知 $\mathrm {Rad} (I)$ 也是一个理想，并包含 $I$ 。当取 $I=\{0\}$ 时，相应的根即是幂零元素的集合，也称作环的幂零根，有时记为 $\mathrm {nil} (R)$ 。记 $\pi :R\to R/I$ 为商同态，则

{\hbox{Rad}}(I)=\pi ^{-1}({\hbox{nil}}(R/I))

利用局部化技巧，也可证明

{\hbox{Rad}}(I)=\bigcap \{P\in {\hbox{Spec}}(R):P\supset I\}

。

为具体起见，考虑较简单的例子 $R=\mathbb {Z}$ 。每个非零理想都可写成 $I=(\prod _{i}p_{i}^{e_{i}})$ ，此处 $p_{1},p_{2},\ldots$ 取遍所有素数， $e_{i}$ 则是非负整数。易证

{\sqrt {I}}=(\prod _{e_{i}>0}p_{i})

。

设 $R$ 为环（未必交换），其雅各布森根 $J(R)$ 定义为所有单右 $R$ -模的零化子之交。对于双边理想 $I\subset R$ ，设 $\pi :R\to R/I$ 为商同态，定义 $J(I):=\pi ^{-1}(J(R/I))$ 。

雅各布森根还有诸种等价的定义。当 $R$ 交换时，有下述简单的性质：

{\hbox{Rad}}(I)=\bigcap \{P\in {\hbox{Spec-max}}(R):P\supset I\}

。

换言之，此即所有包含 $I$ 的极大理想之交。由此立见 $J(I)\supset {\hbox{Rad}}(I)$ 。

David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.