相图 (动态系统)

相图是在用绘图的方式在相平面上表示动态系统的轨迹。每一个不同的初始条件都用一条曲线(或是一个点)表示。

单摆位能及相图。其中X轴是角度,有2π的周期性
用单摆的运动来推导相图
范德波尔方程式 的相图

在研究动态系统时,相图是很重要的工具。相图是由在相空间中各点轨迹的点图英语plot (graphics)组成。相图可以看出动态系统在给定的参数下,是否有吸引子、排斥子或是极限环拓扑等价英语topological conjugacy的概念在为系统行为分类时非常重要,例如二个不同的相图可能会出现相同的本质性动态特性。

在相图中会描绘系统的轨迹(以箭头表示)、稳定稳态(以黑点表示)及不稳定稳态(以圆圈点表示),相图的轴对应状态变数

例子

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微分方程行为的可视化

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相图可以呈现微分方程(ODE)系统的行为,也可以看出系统的稳定性[1]

稳定性[1]
不稳定 随著时间增加,系统大部份的解会逐渐趋近∞
渐近稳定 随著时间增加,系统所有的解会逐渐趋近0
中性稳定 随著时间增加,系统中没有解会趋近∞,但大部份的解也没有趋近0

ODE系统相图上的特性也可以用系统的特征值(trace)以及行列式判别(迹 = λ1 + λ2,行列式 = λ1 x λ2[1]

相图行为[1]
特征值、迹、行列式 相图形状
λ1 & λ2为实数,异号

行列式 < 0

鞍型(不稳定)
λ1 & λ2为实数,同号,λ1 ≠ λ2;

0 < 行列式 < (trace2 / 4)

节点(迹 < 0 表示稳定,迹 > 0 表示不稳定)
λ1 & λ2均有实部有虚部

(trace2 / 4) < determinant

螺旋(trace < 0 表示稳定,trace > 0 表示不稳定)

相关条目

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参考资料

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Haynes Miller, and Arthur Mattuck. 18.03 Differential Equations. Spring 2010. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. License: Creative Commons BY-NC-SA. (Supplementary Notes 26 by Haynes Miller: https://ocw.mit.edu/courses/18-03-differential-equations-spring-2010/resources/mit18_03s10_chapter_26/)

外部链接

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