莱恩-埃姆登方程

莱恩－埃姆登方程（Lane–Emden equation）是天文物理中一个表现自重力位能，球对称多方流体的无因次泊松方程。此方程式名字由来于强纳生·荷马·莱恩与罗伯特·埃姆登。此方程式的解表示了恒星在半径 $r$ 时的压力与密度，方程式中并有重构径向变数 $\xi$ 和重构温度变数 $\theta$：

n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 时的莱恩－埃姆登方程解。

${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0$

当

$\xi =r\left({\frac {4\pi G\rho _{c}^{2}}{(n+1)P_{c}}}\right)^{\frac {1}{2}}$

以及

$\rho =\rho _{c}\theta ^{n}\,$

下标 c 代表核心的压力与密度。$n$是多方指数；多方指数与代表气体压力及密度的多方方程式有关系。

$P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}\,$

$P$ 是代表压力，$\rho$ 则是密度，而 $K$ 则是比例常数。标准的边界条件则是 $\theta (0)=1$ 和 $\theta '(0)=0$。因此该方程式的解是描述恒星压力和密度与半径的关系，并且给定的多方指数 $n$ 也是多方球的多方指数 $n$。流体静力平衡与位能、密度、压力梯度有关；泊松方程与位能、密度有关。

应用

在物理学上，流体静力平衡与位能梯度、密度和压力梯度相关，而泊松方程则可以是位能和密度的关系式。因此如果有一个方程式可以进一步指出压力和密度如何互相反映，就可以得到一个解。以上多方气体的特定选项在数学上陈述了这个问题，尤其是该陈述特别简洁并推导出了莱恩－埃姆登方程。这个方程式对于恒星等自重力位能气体球是相当有用的近似，但它的假设通常是受到限制。

推导

以流体静力平衡推导

考虑到自重力位能、流体静力平衡下的球对称流体、质量守恒这些状况，就可使用以下连续性方程式：

${\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho$

这里 $\rho$ 是 $r$ 的函数。流体静力平衡的公式成为：

${\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}$

$m$ 也是 $r$ 的公式。再一次求导数可得：

${\begin{aligned}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)&={\frac {2Gm}{r^{3}}}-{\frac {G}{r^{2}}}{\frac {dm}{dr}}\\&=-{\frac {2}{\rho r}}{\frac {dP}{dr}}-4\pi G\rho \end{aligned}}$

这里已经使用一个连续性方程式取代质量梯度。再将方程式两侧乘上 $r^{2}$，并将带有 $P$ 的导数的项置于左侧，方程式成为：

$r^{2}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)+{\frac {2r}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}={\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)=-4\pi Gr^{2}\rho$

方程式两侧除以 $r^{2}$，在某些意义上这是一维形式所需的方程式。此外，如果我们以多变方程 $P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta ^{n+1}$ 和 $\rho =\rho _{c}\theta ^{n}$ 代入，可得到：

${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}K\rho _{c}^{\frac {1}{n}}(n+1){\frac {d\theta }{dr}}\right)=-4\pi G\rho _{c}\theta ^{n}$

将常数聚集并以 $r=\alpha \xi$ 取代：

$\alpha ^{2}=(n+1)K\rho _{c}^{{\frac {1}{n}}-1}/4\pi G$,

最后得到莱恩－埃姆登方程：

${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0$

以泊松方程推导

同样地，也可以使用泊松方程进行推导：

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left({r^{2}{\frac {d\Phi }{dr}}}\right)=-4\pi G\rho$

我们可以透过以下数学公式以流体静力平衡取代位能梯度：

${\frac {d\Phi }{dr}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}$

最后也可以得到莱恩－埃姆登方程。

方程式解

解析解

$n$ 只在3个值时有解析解

$n=0$

如果 $n=0$，方程式成为：

${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+1=0$

重新整理并进行一次积分后的公式成为：

$\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}=C_{1}-{\frac {1}{3}}\xi ^{3}$

公式两侧都除以 $\xi ^{2}$，并且再积分一次后得到：

$\theta (\xi )=C_{0}-{\frac {C_{1}}{\xi }}-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}$

边界条件 $\theta (0)=1$ 和 $\theta '(0)=0$ 暗示积分常数是 $C_{0}=1$ 和 $C_{1}=0$。

$n=1$

当 $n=1$，方程式可展开如下：

${\frac {d^{2}\theta }{d\xi ^{2}}}+{\frac {2}{\xi }}{\frac {d\theta }{d\xi }}+\theta =0$

两端都乘以 $\xi ^{2}$ 可得到 $k=1$ 和 $n=0$ 的球贝索函数。套用了边界条件以后的解将是：

$\theta (\xi )={\frac {\sin \xi }{\xi }}$

$n=5$

在经过一连串取代的步骤后，方程式可以有进一步的解：

$\theta (\xi )={\frac {1}{\sqrt {1+\xi ^{2}/3}}}$

当 $n=5$，方程式的解将是循著径向的无限大值。

数值解

一般情形下莱恩－埃姆登方程的解必须以数值积分方式求得。许多数值积分的标准解法要求该问题必须以一阶常微分方程表示，例如：

${\frac {d\theta }{d\xi }}=-{\frac {\phi }{\xi ^{2}}}$

${\frac {d\phi }{d\xi }}=\theta ^{n}\xi ^{2}$

在这里 $\phi (\xi )$ 被视为无因次质量，而质量可使用 $m(r)=4\pi \alpha ^{3}\rho _{c}\phi (\xi )$ 表示。相关的边界条件是 $\phi (0)=0$ 和 $\theta (0)=1$。第一个方程式表现了流体静力平衡，而第二个方程式则表示质量守恒。

同调变数

同调不变方程

已知如果 $\theta (\xi )$ 是莱恩－埃姆登方程的解，那么完整的解方程式将是 $C^{2/n+1}\theta (C\xi )$。和这方式相关的解则称为“同调”，而转换的过程是同调性的。如果我们选择不变的变数达到同调性，就可以将莱恩－埃姆登方程降一阶计算。

而这类可选择的变数有多个，一个适当的选择是：

$U={\frac {d\log m}{d\log r}}={\frac {\xi ^{3}\theta ^{n}}{\phi }}$

和

$V={\frac {d\log P}{d\log r}}=(n+1){\frac {\phi }{\xi \theta }}$

我们可以将相对于 $\xi$ 的变数的对数微分，得到：

${\frac {1}{U}}{\frac {dU}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}(3-n(n+1)^{-1}V-U)$

和

${\frac {1}{V}}{\frac {dV}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}(-1+U+(n+1)^{-1}V)$.

最后，我们将以上两个方程式相除以消去应变量 $\xi$，留下：

${\frac {dV}{dU}}=-{\frac {V}{U}}\left({\frac {U+(n+1)^{-1}V-1}{U+n(n+1)^{-1}V-3}}\right)$

以上即为单一一阶方程式。

拓扑结构不变的同调方程

同调性不变的方程式可被视为自主对方程式：

${\frac {dU}{d\log \xi }}=-U(U+n(n+1)^{-1}V-3)$

和

${\frac {dV}{d\log \xi }}=V(U+(n+1)^{-1}V-1)$

这些方程式的解的形式可透过以下线性稳定性分析来决定。方程式的临界点（当 $dV/d\log \xi =dU/d\log \xi =0$）和雅可比矩阵的特征值、特征向量如下表所示：

临界点	特征值		特征向量
$(0,0)$	$3$	$-1$	$(1,0)$	$(0,1)$
$(3,0)$	$-3$	$2$	$(1,0)$	$(-3n,5+5n)$
$(0,n+1)$	$1$	$3-n$	$(0,1)$	$(2-n,1+n)$
$\left({\frac {n-3}{n-1}},2{\frac {n+1}{n-1}}\right)$	${\frac {n-5\pm \Delta _{n}}{2-2n}}$		$\left(1-n\mp \Delta _{n},4+4n\right)$

相关条目

• 恒星结构
• 埃姆登－钱德拉塞卡方程
• 钱德拉塞卡白矮星方程

延伸阅读

• Lane, Jonathan Homer, On the Theoretical Temperature of the Sun under the Hypothesis of a Gaseous Mass Maintaining its Volume by its Internal Heat and Depending on the Laws of Gases Known to Terrestrial Experiment, The American Journal of Science and Arts, 2nd series, 1870, 50: 57–74 .

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Lane-Emden Differential Equation. MathWorld. 
• Horedt, George Paul ( 1986 ) 'Seven-digit tables of Lane-Emden functions' PDF ( 5.9MB ), Astrophysics and Space Science vol. 126, no. 2, Oct. 1986, p. 357–408. ( ISSN 0004-640X ). Collected at the Smithsonian/NASA Astrophysical Data System.