藏本模型(Kuramoto model)是一种用来描述同步数学模型,由日本物理学家藏本由纪(Kuramoto Yoshiki)首先提出[1][2]。具体说来,它描述了大量耦合振子的同步行为[3][4]。这个模型原本是为了描述化学振子、生物振子而构建,后发现具有广泛的应用,例如神经振荡[5][6][7],以及振荡火焰的动力学[8][9]。惊人的是,一些物理系统的行为也符合这个模型,比如耦合约瑟夫森结的阵列[10]

这个模型假设,所有振子都是完全相同的或几乎完全相同的,相互之间的耦合很弱、并且任意两个振子之间的相互作用强度取决于它们相位差的正弦。

定义

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在藏本模型最常见的版本中,每个振子都有一个固有的自然频率 ,并与所有其它振子以相同的强度耦合。惊人的是,在 的极限下,通过巧妙的变换并使用平均场方法,这个完全非线性的模型是可以精确求解的。

藏本模型中的锁相

这个模型最常见的形式由以下方程组给出:

 

系统由 个极限环振子组成, 是第 个振子的相位, 是耦合强度。

也可以在系统中加入噪声。这种情况下,方程变为

 

其中 是涨落,并且是时间的函数。如果考虑白噪声的情况,则:

 

 

其中 代表噪声强度。

变换

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使得这个模型(至少在 的极限下)能够精确求解的变换如下所示:

定义“序”参量

 

 表征了这群振子的相位相关性 是平均相位。方程两边乘以 ,只考虑虚部得到:

 

因此振子的方程组就不是显式耦合的;相反,序参量支配了系统的行为。通常还会做进一步的变换,变换到一个转动的坐标系,其中所有振子相位的统计平均为零(即 )。最终,方程变为:

 

大N极限

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考虑 的情况。自然频率的分布记为 (假设已经归一化)。设在时刻 ,在所有自然频率为 的振子中,相位为 的振子所占比例为 。归一化要求

 

振子密度的连续性方程

 

其中 是振子的漂移速度。

最终,在连续统极限下重新写出序参量。 应该用系综平均来代替,求和替换为积分,得到

 

所有振子随机漂移的不相关态对应均匀分布解 。这种情况 ,振子之间没有关联。系统整体处于统计稳定态,尽管每个振子单独来看都在以自然频率不停运动。

当耦合足够强时,可能会出现完全同步的解。在完全同步态中,所有振子以相同频率运动,但相位可以不同。

部分同步是只有一些振子同步,而另一些振子自由漂移的状态。从数学上来说,对锁相的振子

 

对漂移的振子,

 

与哈密顿系统的联系

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耗散的藏本模型包含在某些保守的哈密顿系统[11]哈密顿量具有形式:

 

用正则变换变成作用量-角度的形式,作用量为 ,角度(相位) ,在作用量 为常数的不变流形上就是藏本动力学。变换后的哈密顿量

 

哈密顿运动方程为

 

 

因为 ,所以 确定的流形是不变的,并且相位动力学 就是藏本模型的动力学。这类哈密顿系统描述了某些量子-经典系统,包括玻色-爱因斯坦凝聚

模型的变体

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模型有两种类型的变体,一种改变模型的拓扑结构,另一种改变耦合函数的形式。

改变拓扑

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除了具有全连拓扑的原始模型,足够稠密的复杂网络拓扑也可以用同样的平均场处理[12]。而对于局域的行为,例如链形或环形网络上的情况,不能再使用经典的平均场方法,所以只能具体问题具体分析,尽可能利用对称性获取解的信息。

改变相位的相互作用

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藏本把两个振子之间的相位相互作用用第1个傅里叶分量来近似,即 ,其中 。通过把高阶傅里叶分量包括进来,可以得到更好的近似

 

例如,对于弱耦合Hodgkin-Huxley神经元的网络,其同步行为可以用一些振子来表示,这些振子的相互作用函数保留前四阶傅里叶分量[13]。高阶项的引入也能带来有趣的同步现象,例如异宿环[14]、部分同步态[15]、以及奇美拉态[16]

参考资料

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  1. ^ Kuramoto, Yoshiki (1975). H. Araki, ed. Lecture Notes in Physics, International Symposium on Mathematical Problems in Theoretical Physics. 39. Springer-Verlag, New York. p. 420.
  2. ^ Kuramoto Y (1984). Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence. New York, NY: Springer-Verlag.
  3. ^ Strogatz S (2000). "From Kuramoto to Crawford: Exploring the onset of synchronization in populations of coupled oscillators". Physica D. 143 (1–4): 1–20. Bibcode:2000PhyD..143....1S. doi:10.1016/S0167-2789(00)00094-4.
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  12. ^ Rodrigues, F. A.; Peron, T.K.; Ji, P.; Kurths, J. (2016). "The Kuramoto model in complex networks". Physics Reports. 610 (1): 1–98. arXiv:1511.07139. Bibcode:2016PhR...610....1R. doi:10.1016/j.physrep.2015.10.008.
  13. ^ Hansel, D.; Mato, G.; Meunier, C (1993). "Phase Dynamics for Weakly Coupled Hodgkin-Huxley Neurons". Europhysics Letters. 23 (5): 367–372. Bibcode:1993EL.....23..367H. doi:10.1209/0295-5075/23/5/011.
  14. ^ Hansel, D.; Mato, G.; Meunier, C (1993). "Clustering and slow switching in globally coupled phase oscillators". Physical Review E. 48 (5): 3470–3477. Bibcode:1993PhRvE..48.3470H. doi:10.1103/physreve.48.3470.
  15. ^ Clusella, Pau; Politi, Antonio; Rosenblum, Michael (2016). "A minimal model of self-consistent partial synchrony". New Journal of Physics. 18 (9): 093037. doi:10.1088/1367-2630/18/9/093037. ISSN 1367-2630.
  16. ^ Abrams, D.M.; Strogatz, S.H. (2004). "Chimera states for coupled oscillators". Physical Review Letters. 93 (17): 174102. arXiv:nlin/0407045. Bibcode:2004PhRvL..93q4102A. doi:10.1103/physrevlett.93.174102. PMID 15525081.