西尔维斯特数列

西尔维斯特数列的定义为$s_{n}=1+\prod _{i=0}^{n-1}s_{i}$。当$n=0$，由于空积（一个空集内所有元素的积）是$1$，所以$s_{0}=2$，之后是$3,7,43,1807,3263443,10650056950807,113423713055421844361000443...$（OEIS:A000058）

这亦可以用递归定义：$s_{i}=s_{i-1}(s_{i-1}-1)+1,s_{0}=2$。

以数学归纳法可证明$\sum _{i=0}^{j-1}{\frac {1}{s_{i}}}={\frac {s_{j}-2}{s_{j}-1}}$。

“求$k$个埃及分数，使它们之和最接近$1$而又小于$1$。”答案就是这数列中首$k$个数的倒数之和。[1]因此，西尔维斯特数列又可以贪婪算法来定义：每步选取的一个分母，使得对应的埃及分数再加上之前的和最接近1而又少于1。

西尔维斯特数列可以表示为$s_{n}=\left\lfloor E^{2^{n+1}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor$，其中E约为1.264。这和费马数很相似。

这数列以詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特命名。

和为有理数且快速增长的唯一性

若有数列 $a_{n}\geq a_{n-1}^{2}-a_{n-1}+1$ 且 $\lim _{k\to \infty }\sum _{i=0}^{k}{\frac {1}{a_{i}}}\in \mathbb {Q}$，则必存在$N$使得对于$i>N$，$a_{n}=a_{n-1}^{2}-a_{n-1}+1$。

保罗·艾狄胥猜想上面的不等式可以改为更弱的条件$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{a_{n-1}^{2}}}=1$。

质数

显然两个相异的西尔维斯特数必定互质。在首三百万个质数只有1166个是西尔维斯特数列的因数。现时所知的西尔维斯特数中，都是无平方数因数的数，但未有证明所有西尔维斯特数都是。西尔维斯特数的质因数在质数集的密度为0。[2]