西罗定理

在数学中，特别是代数学中的群论，西罗定理（英语：Sylow Theorems）是一系列关于有限群的定理，由挪威数学家彼得·卢德维格·梅德尔·西罗在1872年证明。这些定理使得代数学家对有限群的结构有了更深入的了解，并对有限群的研究以及百年后的有限单群分类作出了重要贡献。

西罗定理处理了拉格朗日定理的部份反例。拉格朗日定理表明如果 $H$ 是 $G$ 的子群，那么子群$H$的阶 $|H|$ 是 $|G|$ 的因数；但是 $|G|$ 的因数未必等于某个子群的阶。西罗定理表明，$|G|$形如 $p^{r}$ 的因数确实是一些子群的阶，定理亦给出这种类型子群数目的相关讯息。

定理叙述

给定一个有限群 $G$ ，通过质因数分解，可以把 $|G|$ 表示成 $p^{n}\times m$的形式（并且 $m$ 不被 $p$ 整除）。如果 $G$ 的子群 $H$ 的阶是 $p$ 的幂 $|H|=p^{k}$ ， $k>0$ ，则 $H$ 称为一个 $p$-子群。西罗$p$-子群是最大的一类 $p$-子群，其定义为阶等于 $p^{n}$ 的子群。群 $G$ 的西罗$p$-子群构成的集合一般记为 ${\text{Syl}}_{p}(G)$ 。

西罗定理有三个部分：

1. 对于所有介于 $1$ 到 $n$ 之间的正整数 $r$ ， $G$ 存在阶为 $p^{r}$ 的子群。
2. $G$ 中的所有西罗 $p$-子群互相共轭。
3. $G$ 中西罗 $p$-子群的个数是 $m$ 的因数、并且具有 $kp+1$ 的形式（模 $p$ 馀 $1$）。

无限群的西罗定理

无限群中的西罗$p$-子群为一个在所有群内之$p$-子群中，以内含关系为序，极大的$p$-子群。可用佐恩引理证明这类子群存在。

定理：若 $K$ 为一个 $G$ 的西罗$p$-子群，且 $n_{p}=|Cl(K)|$ 有限，则每一个西罗$p$-子群都与$K$共轭，且 $n_{p}\equiv 1(modp)$ ，其中 $Cl(K)$ 表示 $K$ 的共轭类。

应用例子

设$G$为一个阶为$15=3\cdot 5$的群。令$n_{3}$为西罗$3$子群的数量，则$n_{3}$整$5$，且模 $3$ 馀 $1$。满足上述条件的值只有1；因此，$G$只有一个阶为$3$的子群，且其必须为正规子群（因为其没有其他的共轭）。类似地，$n_{5}$整除$3$，且$n_{5}\equiv 1\mod 5$；所以$G$仅有一个阶为$5$的正规子群。由于3和5互质，此两个子群的交集为平凡群{e}，所以$G$必须为循环群。因此，只存在一个阶为15的群（以群同构来区分），记为$\mathbb {Z} /15\mathbb {Z}$。

举另一个更复杂的例子来说，可证明不存在一个阶为$350$的简单群。若$|G|=350=2\cdot 5^{2}\cdot 7$，则$n_{5}$必须整除$14=2\cdot 7$，且$n_{5}\equiv 1\mod 5$。由此可知$n_{5}=1$（因为6和11都不整除14），所以$G$必然会有一个阶为$5^{2}$的正规子群，故不可能为简单群。

西罗定理的证明

西罗定理的证明利用了群作用的许多概念。群 $G$ 会以许多种方式作用在其自身或其$p$-子群上，而此类的每个作用则可以被利用来证明西罗定理的其中一个定理。下列的证明是基于1959年H.Wielandt所发表之整合的论述。下面用 $a\mid b$ 表示“ $a$ 整除 $b$ ”，而 $a\nmid b$ 表示“ $a$ 不整除 $b$ ”。

第一西罗定理

定理：一個元素個數 $|G|$ 可以被一質數 $p$ 的次方 $p^{k}$ 整除的有限群 $G$ 會有一個元素個數為 $p^{k}$ 的子群。

证明：设 $|G|=p^{k}m$ ， $p^{r}\mid m$ 且 $p^{r+1}\nmid m$ 。令 $\Omega$ 为 $G$ 中元素个数为 $p^{k}$ 的子集所组成的集合，有 $|\Omega |={\binom {p^{k}m}{p^{k}}}$ 及 $p^{r+1}\nmid {\binom {p^{k}m}{p^{k}}}$ ，其中 ${\binom {p^{k}m}{p^{k}}}$ 是一个二项式系数，此处我们考虑它在组合数学中的意义，即“从 $p^{km}$ 个相异元素选出 $p^{k}$ 个元素的方法数”，这等价于元素个数为 $p^{k}m$ 的集合 $G$ 中元素个数为 $p^{k}$ 的子集的个数，因此等于 $|\Omega |$。

令 $G$ 以左乘积作用于 $\Omega$ 上。基于 $r$ 的定义，存在一个于 $\Omega$ 内的子集 $A$ ，使得其轨道 $\Theta =A^{G}$ 的元素个数不被 $p^{r+1}$ 整除， $p^{r+1}\nmid |\Theta |$。

这里有 $|\Theta |=|A^{G}|=[G:G_{A}]=|G|/|G_{A}|$ ，其中 $G_{A}$ 代表集合 $A$ 的稳定子子群。因此 $p^{k}\mid |G_{A}|$ 故 $p^{k}\leq |G_{A}|$ 。注意在 $G_{A}$ 的作用下之于 $A$ 内的两个元素 $a$ 和 $ga$ 可能不同，所以 $|A|\geq |G_{A}|$ 。由上述 $p^{k}\leq |G_{A}|$ 和 $p^{k}=|A|\geq |G_{A}|$ 两结论可知 $|G_{A}|=p^{k}$ 。 $G_{A}$ 即为所求的群。 $\square$

该定理一个平凡的推论是，如果质数 $p$ 整除群 $G$ 的阶，那么 $G$ 有至少一个西罗 $p$-子群。

第二西罗定理

定理：若H是G的子群且|H|=ps，以及P為G的p-西羅子群，則存在一個在G內的元素a會使得aHa-1為P的子群。特別地是，所有G的西羅p-子群都會共軛（且因此同構）於另一個，即若H和K為G的西羅p-子群，則存在一個G內的元素g會使得g−1Hg = K。

先证明一个有用的引理：

引理: 设G为一个有限p-群，将G作用于一个有限集合Ω上，及令Ω₀为在G的作用下为固定之Ω内的点所组成之集合。然后可知|Ω| ≡ |Ω₀| mod p。

证明：将Ω写成在G下之轨道此种不相交集合的联集。每一个在Ω内的元素x若在G的作用下不固定的话，其将会在其目为|G|/|G_x|之轨道上（其中G_x为稳定子），此目依题目的假设会是p的倍数（不可能为1，因为其目为1的轨道即为在G的作用下固定的点）。因此结论立即就出来了。

证明：设Ω为G内P的左陪集所组成的集合，及H以左乘积作用在Ω上。应用H于Ω上的引理，可知|Ω₀| ≡ |Ω| = [G : P] mod p。由定义可知p $\nmid$ [G : P]，所以p $\nmid$ |Ω₀|，且因为|Ω₀| ≠ 0，故会存在一些gP ∈ Ω₀。因此对每个于H内的元素h，hgP = gP，故g⁻¹hgP = P且g⁻¹hg ∈ P，且因此h ∈ gPg⁻¹，故H会包含于某些G内元素g之gPg⁻¹内。若H为一个西罗p-子群，则|H| = |P| = |gPg⁻¹|，因此对某些在G内的g，H = gPg⁻¹。

第三西罗定理

定理：設q為一有限群G的任一西羅p-子群的目，則np | |G|/q且np ≡ 1 mod p。

证明：依定理2，n_p = [G : N_G(P)]，其中P为任一个子群且N_G(P)为于G内P的正规化子，可知此数为|G|/q的因数。令Ω为所有G的西罗p-子群所组成的集合，且P以共轭作用于Ω上。设Q ∈ Ω₀并可知对所有x ∈ P，Q = xQx⁻¹，因此P ⊆ N_G(Q)。依定理2，P和Q会于N_G(Q)内共轭，尤其是Q会在N_G(Q)为正规，故可知P = Q。由上可知Ω₀ = {P}，因此由引理可知|Ω| ≡ |Ω₀| = 1 mod p。

算法

由一个给定的群中得出一个西罗子群是计算群论中一个很重要的问题。在置换群里，已由William Kantor证明出一个西罗p-子群可以在多项式时间内被找到。

参考资料

• Florian Kammüller and Lawrence C. Paulson. "A Formal Proof of Sylow's Theorem: An Experiment in Abstract Algebra with Isabelle HOL". University of Cambridge, UK. 2000. link
• H. Wielandt. "Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen". Archiv der Mathematik, 10:401-402, 1959.