连续型均匀分布

连续型均匀分布（英语：continuous uniform distribution）或矩形分布（rectangular distribution）的随机变量${\mathit {X}}$，在其值域之内的每个等长区间上取值的概率皆相等。其概率密度函数在该变量的值域内为常数。若$X$服从$[a,b]$上的均匀分布，则记作$X\sim U[a,b]$。

连续型均匀分布

概率密度函数
累积分布函数
参数	$a,b\in (-\infty ,\infty )\,\!$
值域	$a\leq x\leq b\,\!$
概率密度函数	${\begin{matrix}{\frac {1}{b-a}}&{\mbox{for }}a\leq x\leq b\\\\0&\mathrm {for} \ x<a\ \mathrm {or} \ x>b\end{matrix}}\,\!$
累积分布函数	${\begin{matrix}0&{\mbox{for }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&~~~~~{\mbox{for }}a\leq x<b\\1&{\mbox{for }}x\geq b\end{matrix}}\,\!$
期望值	${\frac {a+b}{2}}\,\!$
中位数	${\frac {a+b}{2}}\,\!$
众数	任何$[a,b]\,\!$内的值
方差	${\frac {(b-a)^{2}}{12}}\,\!$
偏度	$0\,\!$
峰度	$-{\frac {6}{5}}\,\!$
熵	$\ln(b-a)\,\!$
矩生成函数	${\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}\,\!$
特征函数	${\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}\,\!$

定义

一个均匀分布在区间[a,b]上的连续型随机变量$X$可给出如下函数：

概率密度函数：

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{b-a}}&\ \ \ {\mbox{for }}a\leq x\leq b\\0&{\mbox{elsewhere}}\end{matrix}}\right.$

累积分布函数：

$F(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{for }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&\ \ \ {\mbox{for }}a\leq x<b\\1&{\mbox{for }}x\geq b\end{matrix}}\right.$

MGF：

$M_{X}(t)=E(e^{tx})={\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}$

公式

期望值和中值： 是指连续型均匀分布函数的期望值和中值等于区间[a,b]上的中间点。

$E[X]={\frac {a+b}{2}}$

方差：

$VAR[X]={\frac {(b-a)^{2}}{12}}$

均匀分布具有下属意义的等可能性。若$X\sim U[a,b]$,则X落在[a,b]内任一子区间[c,d]上的概率：

$P(c\leq x\leq d)=F(d)-F(c)=\int _{c}^{d}{\frac {1}{b-a}}\,dx={\frac {d-c}{b-a}}$

只与区间[c,d]的长度有关，而与它的位置无关。