链环

在交换代数中，一个交换环 $R$ 被称作链环，若且唯若对任何一对素理想

${\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {q}}$

任何严格递增的素理想链

${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {q}}$

皆包含于一个从 ${\mathfrak {p}}$ 到 ${\mathfrak {q}}$ 的有限长极大链，而且此极大链的长度仅依赖于 ${\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}}$。因此我们有一个从素理想对 $\{({\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}})\in \mathrm {Spec} (R)^{2}:{\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {q}}\}$ 至 $\mathbb {N}$ 的映射。在代数几何上，此条件能理解为维度可明确定义。

一个环被称为泛链环，若且唯若其上的任何有限生成代数都是链环。

例子

几乎所有代数几何中出现的诺特环都是泛链环，包括以下例子：

• 完备诺特局部环
• 戴德金环
• 域
• Cohen-Macaulay 环
• 泛链环的局部化仍为泛链环

非泛链环甚难构造。第一个例子由永田雅宜于1956年造出，这是个诺特局部整环，它是链环而非泛链环（见参考文献 Local Rings 第 203 页例 2）。

文献

• H. Matsumura, Commutative algebra ISBN 0-8053-7026-9.
• Nagata, Masayoshi Local rings. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 13 Interscience Publishers a division of John Wiley & Sons,New York-London 1962, reprinted by R. E. Krieger Pub. Co (1975) ISBN 0882752286