阿依热尔曼猜想

阿依热尔曼猜想（Aizerman's conjecture）或阿依热尔曼问题猜想（Aizerman problem）是非线性控制的猜想，认为一线性系统有非线性的回授，不过是在一个扇形的线性区间内，若线性系统在此扇形线性区间都稳定，则整个系统都会稳定。

阿依热尔曼猜想在一维系统成立，在二维系统是全域稳定的充份必要条件，而针对维度大于3的情形，这个猜想已找到反证，不过后来因此推导出（有效的）非线性控制全域稳定性准则。

阿依热尔曼猜想的数学描述

考虑一个系统，其中包括一个纯量非线性的函数

${\frac {dx}{dt}}=Px+qf(e),\quad e=r^{*}x\quad x\in \mathbb {R} ^{n},$

其中P是常数n×n矩阵、q和r是常数n维向量、∗ 是转置算子、f(e)是纯量函数，且 f(0)=0。假设非线性函数f是有扇型区间的上下限，也就是存在实数$k_{1}$及$k_{2}$，满足$k_{1}<k_{2}$，且函数$f$满足

$k_{1}<{\frac {f(e)}{e}}<k_{2},\quad \forall \;e\neq 0.$

阿依热尔曼猜想就是指此系统在全域稳定（有唯一稳定点，而且是全域吸引子）若所有在f(e)=ke, k ∈(k1,k2)下的线性系统都是渐近稳定。

存在阿依热尔曼猜想的反例，非线性函数在线性稳定的范围内，且系统除了唯一的稳定平衡点外，还有稳定的周期解—隐蔽振荡。

卡尔曼猜想是强化版本的阿依热尔曼猜想，在非线性回授的部份要求回授的微分需在线性稳定区间内，结果也存在反例。

延伸阅读

• Atherton, D.P.; Siouris, G.M. Nonlinear Control Engineering. Systems, Man and Cybernetics, IEEE Transactions on. 1977, 7 (7): 567–568 [2008-06-30]. doi:10.1109/TSMC.1977.4309773. （原始内容存档于2019-07-13）. 

外部链接

• Counterexamples to Aizerman's and Kalman's conjectures and describing function method (PDF). [2019-04-04]. （原始内容存档 (PDF)于2016-03-04）.