阿基米德中点定理

阿基米德中点定理（英语：Archimedes' Midpoint Theorem），又称为阿基米德折弦定理，是一个关于圆的定理。若一个圆上有两点 $A,B$ ， $M$ 为弧 ${\overset {\frown }{AB}}$ 的中点，随意选圆上的一点 $D$ 为 ${\overline {AC}}$ 上的点使得 ${\overline {MD}}$ 垂直 ${\overline {AC}}$ 。若 $M$ 、 $C$ 在弦 ${\overset {\frown }{AB}}$ 异侧，则 ${\overline {AD}}$ = ${\overline {CD}}$ - ${\overline {BC}}$ ；若 $M$ 、 $C$ 在弦 ${\overset {\frown }{AB}}$ 同侧，则 ${\overline {AD}}$ = ${\overline {CD}}$ + ${\overline {BC}}$ 。

证明

若为同侧：在线段 ${\overline {AD}}$ 上取点 $X$ ，使得 ${\overline {DX}}={\overline {DC}}$ ，由于 ${\overline {MD}}\perp {\overline {AC}}$ ，有

${\overline {MX}}={\overline {MC}}$ 。又因为 $M$ 为弧 ${\overset {\frown }{AB}}$ 中点， ${\overset {\frown }{AM}}={\overset {\frown }{BM}}$ 。

同时由圆周角定理知：

\angle MAC=\angle MBC

，

\angle ABM=\angle ACM

，

所以

\angle XMC=2\angle DMC=180^{\circ }-2\angle ACM=180^{\circ }-2\angle ABM=\angle AMB

，

所以

\angle AMX=\angle AMC-\angle XMC=\angle AMC-\angle AMB=\angle BMC

，

所以

\triangle AMX\cong \triangle BMC

，

所以

{\overline {AX}}={\overline {BC}}

，

{\overline {AD}}={\overline {AX}}+{\overline {XD}}={\overline {DC}}+{\overline {CB}}

，命题得证。

若为异侧：在线段 ${\overline {AD}}$ 延长线上取点 $X$ ,使 ${\overline {DX}}={\overline {AD}}$ .因为 $M$ 为弧 ${\overset {\frown }{AB}}$ 中点，所以 $\angle ACM=\angle BCM$ 。又因为四边形 $AMBC$ 为圆内接四边形，所以，延长 ${\overline {CB}}$ 至 $P$ ，则 $\angle MBP=\angle MAC$ 。但是 ${\overline {AD}}={\overline {DX}}$ ， $\angle ADM$ 为直角，所以 $\triangle ADM\cong \triangle XDM$ ； $\angle MAC=\angle AXM$ ； $\angle MBP=\angle AXM$ ； $\angle CXM=\angle CBM$ 。