GPY筛法

GPY筛法（Goldston-Pintz-Yıldırım sieve）是一种筛法，这种筛法是塞尔伯格筛法的一种带有一般、多维筛选权重的变体。这种筛法已为解析数论的研究带来多项突破。

这种筛法以Goldston、Pintz和Yildirim这三位数学家为名。他们在2005年时以此筛法证明说根据质数定理，可推出存在有无限多的质数组，其间隔任意地小于质数的平均间隔。

张益唐后来修改此筛法，以证明说两个相隔质数间出现无限多次的最小间隔的有限界限为何。之后詹姆斯·梅纳德（他把上述的界限降到$600$）及陶哲轩都曾修改此筛法。

GPY筛法

表记

首先固定$k\in \mathbb {N}$，之后定义以下表记：

• $\mathbb {P}$是质数集合，且$1_{\mathbb {P} }(n)$是这集合的特征方程。
• $\Lambda (n)$是冯·曼戈尔特函数。
• $\omega (n)$是用以计算$n$的不同质因数个数的小写俄梅戛函数。
• ${\mathcal {H}}=\{h_{1},\dots ,h_{k}\}$是一组相异的非负整数$h_{i}\in \mathbb {Z} _{+}\cup \{0\}$的集合。
• $\theta (n)$是另一个关于质数的特征函数，其定义如下：

$\theta (n)={\begin{cases}\log(n)&{\text{if }}n\in \mathbb {P} \\0&{\text{else.}}\end{cases}}$

其中$\theta (n)=\log((n-1)1_{\mathbb {P} }(n)+1)$。

对于${\mathcal {H}}$有以下定义：

• ${\mathcal {H}}(n):=(n+h_{1},\dots ,n+h_{k})$，
• $P_{\mathcal {H}}(n):=(n+h_{1})(n+h_{2})\cdots (n+h_{k})$
• $\nu _{p}({\mathcal {H}})$是${\mathcal {H}}$模$p$的相异同馀类个数。像例如因为$\{0,2,4\}{\stackrel {\pmod {3}}{=}}\{0,1,2\}$且$\{0,2\}{\stackrel {\pmod {3}}{=}}\{0,2\}$之故，因此有$\nu _{3}(\{0,2,4\})=3$以及$\nu _{3}(\{0,2\})=2$。

假若对所有的$p\in \mathbb {P}$而言，都有$\nu _{p}({\mathcal {H}})<k$的话，则称${\mathcal {H}}$为“可及的”（admissible）。

构造

设${\mathcal {H}}=\{h_{1},\dots ,h_{k}\}$为“可及的”，并考虑以下筛函数（sifting function）：

${\mathcal {S}}(N,c;{\mathcal {H}}):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}1_{\mathbb {P} }(n+h_{i})-c\right)w(n)^{2},\quad w(n)\in \mathbb {R} ,\quad c>0.$

那么对任意的$n\in [N+1,2N]$而言，这函数即是计算扣掉某个门槛$c$之后，形如$n+h_{i}$的质数的个数的函数，故在${\mathcal {S}}>0$的情况下，有某数$n$使得至少$\lfloor c\rfloor +1$是${\mathcal {H}}(n)$中的质数。

由于$1_{\mathbb {P} }(n)$的解析性质没那么好之故，因此可改用下列的筛函数：

${\mathcal {S}}(N;{\mathcal {H}}):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}\theta (n+h_{i})-\log(3N)\right)w(n)^{2}.$

由于$\log(N)<\theta (n+h_{i})<\log(2N)$且$c=\log(3n)$之故，我们仅在存在$n+h_{i}$及$n+h_{j}$这两个质数的状况下，有${\mathcal {S}}>0$。我们接下来要做的，就是寻找权重函数$w(n)$以便能测得质数k元组。

权重的派生

一个权重函数的可能候选，是一般化的冯·曼戈尔特函数：

$\Lambda _{k}(n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\left(\log \left({\frac {n}{d}}\right)\right)^{k},$

这函数有如次的性质：若$\omega (n)>k$，则$\Lambda _{k}(n)=0$。虽说这函数也会测得形式为质数幂的因子，但在应用中，这些因子可在仅造成可忽略误差的状况下移除。

因此在${\mathcal {H}}(n)$是质数k元组的状况下，以下方程不会消失：

$\Lambda _{k}(n;{\mathcal {H}})={\frac {1}{k!}}\Lambda _{k}(P_{\mathcal {H}}(n))$

其中$1/k!$这因子仅仅是因方便计算而选取。

（古典）冯·曼戈尔特函数可以截形冯·曼戈尔特函数来估计：

$\Lambda (n)\approx \Lambda _{R}(n):=\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid n\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\log \left({\frac {R}{d}}\right),$

其中$R$不再表示${\mathcal {H}}$的长度，但用以决定截取点。类似地我们可以下式估计$\Lambda _{k}(n;{\mathcal {H}})$：

$\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}})={\frac {1}{k!}}\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k}$

因为技术理由，我们会希望估计在多个部分中带有质数的数组，而非再引入另一个参数$0\leq \ell \leq k$的状况下仅仅估计质数组，因此我们可选取$k+\ell$或较不相异的质因数。而这引出了下列的最终形式：

$\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )={\frac {1}{(k+\ell )!}}\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k+\ell }$

在不引入$\ell$这额外参数的状况下，对不同的$d=d_{1}d_{2}\cdots d_{k}$有$d_{1}\leq R,d_{2}\leq R,\dots ,d_{k}\leq R$这样的限制；但借由引入此参数，我们可得到更宽松的限制$d_{1}d_{2}\dots d_{k}\leq R$。

故对于$k$维的筛法问题，我们有$k+\ell$维的筛法。

GPY筛法

GPY筛法有下列形式：

${\mathcal {S}}(N;{\mathcal {H}},\ell ):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}\theta (n+h_{i})-\log(3N)\right)\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )^{2},\qquad |{\mathcal {H}}|=k$

其中

$\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )={\frac {1}{(k+\ell )!}}\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k+\ell },\quad 0\leq \ell \leq k$.

Goldston、Pintz及Yıldırım三氏对主定理的证明

在考虑$({\mathcal {H}}_{1},\ell _{1},k_{1})$、$({\mathcal {H}}_{2},\ell _{2},k_{2})$以及$1\leq h_{0}\leq R$并定义$M:=k_{1}+k_{2}+\ell _{1}+\ell _{2}$的情况下，Goldston、Pintz及Yıldırım三氏在他们的论文中，以两个定理证明了在合适的条件下，以下两个非病态的形式成立。这两个形式分别为

$\sum \limits _{n\leq N}\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{1},\ell _{1})\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{2},\ell _{2})=C_{1}\left({\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{i})+o_{M}(1)\right)N$

以及

$\sum \limits _{n\leq N}\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{1},\ell _{1})\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{2},\ell _{2})\theta (n+h_{0})=C_{2}\left({\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{j})+o_{M}(1)\right)N$

其中$C_{1},C_{2}$是两个常数，${\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{i})$及${\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{j})$是两个奇异级数（singular series），其描述在此省略。

最后我们可将此结果套用在${\mathcal {S}}$之上，以得到Goldston、Pintz及Yıldırım三氏“存在有无限多的质数组，其间隔任意地小于质数的平均间隔”的结果。