用户:Askflh/复对数
在复分析中 ,非零复数的复对数 (由表示)被定义为任意满足的复数[1] 。该定义类似于实对数函数 ,被定义为实指数函数 e y的反函数 e y ,对于任意正实数x,满足 。
任何复数有无穷多个复对数(见下段),因而复对数不能被定义为一个复数的函数,只可作为一个多值函数 。
如果z以极坐标形式给出(其中和为实数,且),那么是的一个对数。 由于任取整数,均恰好有,因而对于这个, 也为的一个对数[1]
的所有复对数,都在复平面中与原点距离为的直线上。
由于每个非零复数具有无穷多个对数,因此在使用时,需要特别注意指出其明确的含义。
复指数函数求逆的问题
编辑对于具有反函数的函数 ,将不同的值映射到不同的值 ,即其是单射 (如果我们不将到达域限制到函数的值域 ,则其为双射)。 在指数 中添加一个项 ,效果为使该复数旋转 弧度,因而任取复数 ,都可以得到 ,因而指数函数并不是单射。所以下列点:
沿该垂直线等间隔,且均由指数函数映射到相同的复数,即 。 这意味着指数函数在一般意义上没有反函数。 [2] [3] 这个问题有两种解决方案:
一种是将指数函数的定义域限制为一个区域,该区域不存在相差 整数倍的两个数。因而,在此区域内,指数函数为一个双射,这自然导出了 在该区域的定义。 这类似于定义在 上的函数 ,通过限制 来寻找 的反函数。
另一种方法是将对数视为一个函数,其定义域不是复平面中的区域,而是以无限到1的方式覆盖穿孔复平面的黎曼曲面 。 [[Category:对数]] [[Category:解析函数]] [[Category:有未审阅翻译的页面]]