主定理
分析算法複雜度的方法,從遞歸式得出通項的大小估計
在演算法分析中,主定理(英語:Master theorem)提供了用漸近符號(大O符號)表示許多由分治法得到的遞推關係式的方法。這種方法最初由喬恩·本特利、多蘿西·布洛斯坦和詹姆斯·B·薩克斯在1980年提出,在那裡被描述為解決這種遞推的「天下無敵法」(Master method)。此方法經由經典演算法教科書托馬斯·H·科爾曼、查爾斯·E·雷瑟爾森、羅納德·李維斯特和克利福德·史坦的《算法導論》推廣而為人熟知。
不過,並非所有遞推關係式都可應用支配理論。該定理的推廣形式包括阿克拉-巴茲方法。
支配理論
編輯假設有遞歸關係式
- ,其中
其中, 為問題規模, 為遞歸的子問題數量, 為每個子問題的規模(假設每個子問題的規模基本一樣), 為遞歸以外進行的計算工作。
情形一
編輯如果存在常數 ,有
(可不嚴謹的視作多項式地小於)
則
情形二
編輯如果存在常數 ,有
則
情形三
編輯如果存在常數 ,有
- (多項式地大於)
同時存在常數 以及充分大的 ,滿足
則
常用演算法中的應用
編輯演算法 | 遞迴關係式 | 運算時間 | 備註 |
---|---|---|---|
二分搜尋演算法 | 情形二( ) | ||
二叉樹遍歷 | 情形一 | ||
最佳排序矩陣搜索(已排好序的二維矩陣) | |||
合併排序 | 情形二( ) |
參考文獻
編輯- Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Sections 4.3 (The master method) and 4.4 (Proof of the master theorem), pp. 73–90.
- Michael T. Goodrich and Roberto Tamassia. Algorithm Design: Foundation, Analysis, and Internet Examples. Wiley, 2002. ISBN 0-471-38365-1. The master theorem (including the version of Case 2 included here, which is stronger than the one from CLRS) is on pp. 268–270.