值域

在數學中，函數的值域（英語：Range）是由定義域中一切元素所能產生的所有函數值的集合。有時候也稱為函數的像。

給定函數 $f:A\rightarrow B$ ，集合 $f(A)$ 被稱為是 $f$ 的值域，記為 $R_{f}$ 。值域不應跟陪域 $B$ 相混淆。一般來說，值域只是陪域的一個子集。

例子編輯

假設函數 $f$ 為定義在實數上的函數：

f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}

定義為

f:x\mapsto x^{2}

$f$ 的陪域為 $\mathbb {R}$ ，但明顯地 $f(x)$ 不會取到負數值，因此，事實上值域只是非負實數集合 $\mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}$ ，即區間 $[0,\infty )$ ：

0\leq f(x)<\infty

。

求函數值域，尤其是複合函數的值域時，首先要對基本的初等函數的定義域和值域充分了解，其次要靈活運用基本不等式。

初等函數的值域求法一般為：

例如： $y=3-{\sqrt {x}}$

由 ${\sqrt {x}}\geq 0$

$\Rightarrow -{\sqrt {x}}\leq 0$

所以值域為 $(-\infty ,3]$ 。

先求得所要計算的函數的反函數，則反函數的定義域即為原函數的值域。

例如： $y={\sqrt[{3}]{x}}$

它的反函數為 $x=y^{3}$

反函數的定義域為： $(-\infty ,+\infty )$

則原函數 $y={\sqrt[{3}]{x}}$ 的值域為： $(-\infty ,+\infty )$

畫出連續函數的圖像，則函數圖像縱軸的最小值和最大值（若有）組成的區間即為函數的值域。