克里斯托費爾符號

克氏符號,全稱克里斯托費爾符號Christoffel symbols),在數學物理中,是從度量張量導出的列維-奇維塔聯絡Levi-Civita connection)的坐標表達式。因埃爾溫·布魯諾·克里斯托費爾(1829年-1900年)命名。克氏符號在每當進行涉及到幾何的實用演算時都會被用到,因為他們使得非常複雜的演算不被搞混。不幸的是,它們寫起來較繁瑣,並要求對細節的仔細關注。相反,無下標的形式化的列維-奇維塔聯絡的概念是相當漂亮,並允許定理用典雅的方式表達,但是在實用演算中沒有什麼用處。

預備

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下面的定義對於黎曼流形廣義相對論用到的偽黎曼流形都是適用的,逆變導數(contravariant,用上標表示)和協變導數(covariant,用下標表示)的指標作了嚴格的區分。公式對兩種符號常規都成立,除特別指出的外。

定義

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克氏符號可以從度量張量 共變導數為0這一事實來導出:

 

通過交換指標(index),和求和,可以解出聯絡:

 

注意雖然記號有三個指標,他們是張量。它們不像張量那樣變換。它們是二階切叢上的物體的分量,是一個噴射,參看jet叢。克氏符號在坐標變換下的變換性質見下面。

注意,多數作者用和樂(或稱完全,holonomic)的坐標系,我們也用這樣的常規做法。在非和樂的坐標中,克氏符號有更複雜的形式

 

其中 是該基的交換係數;也就是

 

其中ek是向量的基而 李括號


以下的表達式除作特殊說明外都是在和樂坐標基中。

和無指標符號的關係

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XY向量場,其分量為  。則Y相對於X的共變導數的第k個分量為

 .

有些老的物理書有時把X寫成dx,並把它放在方程的後面而不是前面。這裡,採用了愛因斯坦記號,所以重複出現的指標表示求和,和度量張量的縮並(contraction)用來升降指標:

 .

注意 克羅內克記號(Kronecker delta) 。常規上,度量張量是有下標的那個;這確的從 得到 的辦法是解線性方程組 。也即,gik是gik的逆。

聯絡是無撓率的表達式是

 

這和克里斯托夫記號對兩個下標對稱是等價的:

 .

無指標的張量變換性質是由共變指標的拉回和反變指標的前推來給出的。共變導數條目有關於無指標和有指標表示法的關係的更多討論。

關係

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把指標縮並起來,就得到

 

其中|g|是度量張量 行列式的絕對值。

類似的,

 

向量場 共變導數(covariant derivative)

 

共變散度(covariant divergence)

 .

張量 的共變導數是

 .

若張量是反對稱的,則其散度簡化為

 .

標量場 的反變導數稱為 梯度。也就是說,梯度就是把微分的指標升到上面:

 

標量勢的拉普拉斯算子Laplacian

 .

拉普拉斯也就是梯度的共變散度(對於標量場來講)  .

黎曼曲率

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黎曼曲率張量

 .

該張量的對稱性有

  .

也就是交換前後兩對指標是對稱的,交換其中一對是反對稱的。

循環替換的和是

 

比安基恆等式

 

Ricci曲率

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Ricci張量由下式給出

 

該張量是對稱的: .它可以通過收縮黎曼張量的指標得到:

 

標量曲率由下式給出

 .

標量的共變導數可以從Bianchi等式推出:

 .

外爾張量

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外爾張量(Weyl tensor)

 .

坐標變換

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在從  的坐標變換下,向量的變換為

 

所以

 

其中上劃線表示y坐標系中的克氏符號。注意克氏符號像張量那樣變換,而是像jet叢中的對象那樣。

參考

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