數學分析中,初值定理是將時間趨於時的頻域表達式與時域行為建立聯繫的定理[1]

它簡稱為IVT。

ƒ(t) 的(單邊)拉普拉斯變換。初值定理表明[2]

證明

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基於導數的拉普拉斯變換,我們有:

 

因此:

 

但在 t=0 到 t=0+ 之間,  是不確定的;為了避免這種情況,可以通過對兩段區間分別積分求得:

 

在第一個表達式中 0<t<0+, e−st=1。在第二個表達式中,可以交換積分和取極限的次序。同時在 0+<t<∞ 時   為零。故:[3]

 

通過用這個結果在主方程中進行代換就得到:

 

參見

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注釋

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  1. ^ 存档副本. [2015-05-05]. (原始內容存檔於2017-12-26). 
  2. ^ Robert H. Cannon, Dynamics of Physical Systems, Courier Dover Publications, 2003, page 567.
  3. ^ Robert H., Jr. Cannon. Dynamics of Physical Systems. Courier Dover Publications. 4 May 2012: 569 [2015-05-05]. ISBN 978-0-486-13969-2. (原始內容存檔於2014-06-27).