加法原理

加法原理（rule of sum或addition principle）是組合計數的基本組合原理。簡單而言，若有$A$種方式做某事，又有$B$種方式做另一件事，且恰好要做其中之一，則總共有$A+B$種方案。

嚴格化的數學中，加法原理是有關集合大小的事實，斷言任意有限多個兩兩互斥的集合大小之和，等於其聯集的大小。以符號表示為，若集合$S_{1},S_{2},\ldots ,S_{n}$兩兩互斥，則有

$|S_{1}|+|S_{2}|+\cdots +|S_{n}|=|S_{1}\cup S_{2}\cup \cdots \cup S_{n}|.$

簡單例子

設學校田徑運動會中，學生要報名恰好一個項目，可以是田賽或徑賽。若選田賽，則可以選跳高、跳遠、鉛球三項之一。若選徑賽，則可以選一百米跑、四百米跑兩項之一。

應用加法原理，共有$3+2=5$種報名方案。

容斥原理

主條目：容斥原理

三幅文氏圖，每個區域標的數，是該圖下方算式中，該區域（對應的集合）的元素數了多少次，驗證了容斥原理。

容斥原理可以視為加法原理的推廣，因為是同樣計算若干個集合之並的大小，但不要求各集合兩兩互斥。其斷言，若$A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$為有限集，則

${\begin{aligned}{\biggl |}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\biggr |}{}=\sum _{i=1}^{n}\left|A_{i}\right|&-\sum _{i,j\,:\,1\leq i<j\leq n}\left|A_{i}\cap A_{j}\right|\\&+\sum _{i,j,k\,:\,1\leq i<j<k\leq n}\left|A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}\right|-\ \cdots \ +\left(-1\right)^{n-1}\left|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right|.\end{aligned}}$

參見

• 其他組合技巧如：
  • 乘法原理——組合計數原理，計算從兩集合各取一個元素的方法數
  • 容斥原理——組合數學的計數技巧，重複數算的數目要扣除