半參數回歸

統計學中，半參數回歸包括結合了參數模型和非參數模型的回歸模型。它們通常用於完全非參數模型可能表現不佳的情況，或者研究人員希望使用參數模型，但與回歸子集有關的函數形式或誤差密度不為人知的情況。半參數回歸模型是半參數建模的一種特殊類型。半參數模型包含參數成分，依賴於參數假設，可能會出現規範誤差與不一致的情況。

方法

目前已有許多不同的半參數回歸方法。最流行的方法是部分線性模型、指數模型和變係數模型。

部分線性模型

部分線性模型如下

$Y_{i}=X'_{i}\beta +g\left(Z_{i}\right)+u_{i},\,\quad i=1,\ldots ,n,\,$

其中$Y_{i}$是因變量，$X_{i}$是解釋變量的$p\times 1$向量，$\beta$是未知參數的$p\times 1$向量，$Z_{i}\in \operatorname {R} ^{q}$。部分線性模型的參數部分由參數向量$\beta$給出，而非參數部分是未知函數$g\left(Z_{i}\right)$。假設數據與$E\left(u_{i}|X_{i},Z_{i}\right)=0$獨立同分布，模型允許未知形式的條件異方差誤差過程$E\left(u_{i}^{2}|x,z\right)=\sigma ^{2}\left(x,z\right)$。這類模型由Robinson (1988)提出，並由Racine & Li (2007)擴展到處理分類協變量。

這種方法先獲得$\beta$的${\sqrt {n}}$一致估計量，然後用適當的非參數回歸方法，從$Y_{i}-X'_{i}{\hat {\beta }}$對$z$的非參數回歸中推出$g\left(Z_{i}\right)$的估計量。

指數模型

單一指數模型的形式是

$Y=g\left(X'\beta _{0}\right)+u,\,$

其中$Y$、$X$、$\beta _{0}$的定義與上文相同，誤差項$u$滿足$E\left(u|X\right)=0$。單一指數模型得名於模型的參數部分$x'\beta$，是標量單指數。非參數部分是未知函數$g\left(\cdot \right)$。

市村法

市村(1993)提出的單一指數模型法如下。考慮$y$連續情形，給定函數$g\left(\cdot \right)$的已知形式，$\beta _{0}$可用非線性最小二乘法估計，使函數

$\sum _{i=1}\left(Y_{i}-g\left(X'_{i}\beta \right)\right)^{2}.$

最小化。$g\left(\cdot \right)$的函數形式未知，需要估計。對給定$\beta$值，函數估計值可用核密度估計得到，為

$G\left(X'_{i}\beta \right)=E\left(Y_{i}|X'_{i}\beta \right)=E\left[g\left(X'_{i}\beta _{o}\right)|X'_{i}\beta \right]$

市村(1993)建議用下式估計$g\left(X'_{i}\beta \right)$：

${\hat {G}}_{-i}\left(X'_{i}\beta \right),\,$

為$G\left(X'_{i}\beta \right)$的留一非參數核估計量.

Klein與Spady估計量

Klein & Spady (1993)提出，若因變量$y$是二元的，並假設$X_{i}$、$u_{i}$獨立，則可用最大似然估計法估計$\beta$。對數似然函數為

$L\left(\beta \right)=\sum _{i}\left(1-Y_{i}\right)\ln \left(1-{\hat {g}}_{-i}\left(X'_{i}\beta \right)\right)+\sum _{i}Y_{i}\ln \left({\hat {g}}_{-i}\left(X'_{i}\beta \right)\right),$

其中${\hat {g}}_{-i}\left(X'_{i}\beta \right)$是留一估計量。

平滑係數/變係數模型

Hastie & Tibshirani (1993)提出了一種平滑係數模型

$Y_{i}=\alpha \left(Z_{i}\right)+X'_{i}\beta \left(Z_{i}\right)+u_{i}=\left(1+X'_{i}\right)\left({\begin{array}{c}\alpha \left(Z_{i}\right)\\\beta \left(Z_{i}\right)\end{array}}\right)+u_{i}=W'_{i}\gamma \left(Z_{i}\right)+u_{i},$

其中$X_{i}$是$k\times 1$向量，$\beta \left(z\right)$是$z$的未定平滑函數向量。

$\gamma \left(\cdot \right)$可表為

$\gamma \left(Z_{i}\right)=\left(E\left[W_{i}W'_{i}|Z_{i}\right]\right)^{-1}E\left[W_{i}Y_{i}|Z_{i}\right].$

另見

• 非參數回歸

參考文獻

• Robinson, P.M. Root-n Consistent Semiparametric Regression. Econometrica (The Econometric Society). 1988, 56 (4): 931–954. JSTOR 1912705. doi:10.2307/1912705. 
• Li, Qi; Racine, Jeffrey S. Nonparametric Econometrics: Theory and Practice. Princeton University Press. 2007. ISBN 978-0-691-12161-1. 
• Racine, J.S.; Qui, L. A Partially Linear Kernel Estimator for Categorical Data. Unpublished Manuscript, Mcmaster University. 2007. 
• Ichimura, H. Semiparametric Least Squares (SLS) and Weighted SLS Estimation of Single Index Models. Journal of Econometrics. 1993, 58 (1–2): 71–120. doi:10.1016/0304-4076(93)90114-K. 
• Klein, R. W.; R. H. Spady. An Efficient Semiparametric Estimator for Binary Response Models. Econometrica (The Econometric Society). 1993, 61 (2): 387–421. CiteSeerX 10.1.1.318.4925 . JSTOR 2951556. doi:10.2307/2951556. 
• Hastie, T.; R. Tibshirani. Varying-Coefficient Models. Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 1993, 55: 757–796.