垂直

垂直是一個幾何術語。在平面幾何中，如果一條直線與另一條直線相交，且它們構成的任意相鄰兩個角相等，那麼這兩條直線相互垂直。術語「垂直」（符號：⊥）衍生一個形容詞（垂直）或者名詞（垂線）。因此，根據圖一，直線AB通過B點與直線CD相互垂直。像圖一這樣，如果一條直線與另一條直線垂直，那麼它們構成的兩個角稱為直角，或者90°角。

圖一　直線AB與直線CD垂直，因為它們相交所構成的兩個角（分別以橙色和藍色表示）相等。

垂足指兩條互相垂直的線相交的點。

垂直的概念對線段和射線也通用，只需看一者所在的直線是否與另一者所在的直線垂直就可以了。如圖一中，線段AB和線段CD相互垂直。甚至線段AB的一端不一定要在線段CD上（即可定向伸縮），它們仍被認為是垂直的。

空間幾何中，有直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的垂直關係。垂直可以看做是歐幾里得空間（或內積空間）中的正交關係在二維和三維空間中的特例。

解析幾何中的垂直

在笛卡兒坐標系中，兩條被如下等式所表示的直線$L$和$M$

$({\mathcal {D}}_{1}):y=ax+b$

$({\mathcal {D}}_{2}):y=cx+d$

那麼垂直的情況有兩種：

1. 只要沒有一條是豎直（斜率=∞）的，那麼$a$和$c$就是這兩條直線的斜率。當且僅當直線$({\mathcal {D}}_{1})$和$({\mathcal {D}}_{2})$的斜率的積為-1時，即$ac=-1$時，這兩條直線在這個平面垂直。
2. 除此之外，若有一條直線是豎直的，那麼另一條直線與它垂直當且僅當其斜率為0。

如果兩條直線的表達式為：

$({\mathcal {D}}_{1}):a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$

$({\mathcal {D}}_{2}):a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0$

那麼只有一種情況：兩條直線在這個平面相互垂直當且僅當$a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0$

假如用$V_{1}=(a_{1},b_{1})$和$V_{2}=(a_{2},b_{2})$來表示兩條直線的方向向量，那麼上面垂直的充分必要條件就是兩個方向向量正交的充分必要條件。這說明了垂直實際上是正交關係（在二維和三維空間）的一個特例。

空間幾何中的垂直

三維空間中不僅有直線與直線的垂直，也有直線與平面、平面與平面的垂直。

• 直線與直線的垂直：在三維空間中，判斷兩條直線之間的垂直關係比在平面上要困難。過其中一條直線作平行於另一條直線的平面，將另一條直線投影到這個平面上。如果這個投影與第一條直線垂直，那麼就說兩條直線垂直。

• 直線與平面的垂直：一條直線與一個平面垂直當且僅當它與平面中的每一條直線都垂直。一個等價的說法是兩者垂直當且僅當直線平行於平面的法向量。

• 平面與平面的垂直：兩個平面相互垂直當且僅當它們的法向量相互垂直。一個更幾何的方法是看兩個平面的交線（如果沒有說明兩平面平行）。選擇一個平面，過兩平面交線上的一點作一條垂直於交線並在平面中的直線，如果這條直線與另一個平面垂直，那麼兩平面垂直。

垂線的作圖

圖二　過點P與直線AB相互垂直的構造過程

用尺規作一條過點P與直線AB相互垂直的直線，過程如下（見圖二）：

• 步驟一（紅色）：以點P為圓心作一個圓交直線AB於點A'和B'，點A'和B'與點P等距。
• 步驟二（綠色）：以點A'和B'為圓心，以PA'和PB'為半徑作圓。令兩圓的另一交點為Q。
• 步驟三（藍色）：連接PQ以作出所求垂線。

為證明直線PQ與直線AB垂直，使用三角形SSS全等定理證明三角形QPA'和QPB'全等以求得三角形OPA'和OPB'也全等。然後使用三角形SAS全等定理證明角POA和POB相等。

參看

• 平行
• 投影
• 正交

參考來源

• R.A.約翰遜 著，單壿 譯. 近代欧氏几何学. 上海教育出版社. 1999. ISBN 9787532063925. 
• 盛為民. 解析几何学. 浙江大學出版社. 2008. ISBN 9787308061490.