垂線偏差

垂線偏差（英語：Vertical deflection）指地球表面上某一點處垂線方向和法線方向的差異，也即重力異常矢量的方向。垂線偏差可以表示為當地天文坐標與地理坐標之間的差異，其中前者在水準面上通過重力測量的方式確定，而後者是天文坐標投影到橢球面上的位置。對垂線偏差的數學描述通常以法線為基準。

藍色直線為過交點的垂線方向，紅色直線為過交點的法線方向，兩者間的差異即為垂線偏差

數學表達

設 $\mathbf {P}$ 為大地水準面上一點，其所處的垂線方向為 $\mathbf {n}$，通過重力測量方式測得的天文坐標為 $\left(\Phi ,\Lambda \right)$ 。將其沿參考橢球面的法線 $\mathbf {n'}$ 投影至橢球面上的點 $\mathbf {Q}$，得到其地理坐標為 $\left(\varphi ,\lambda \right)$ 。在實際測量過程中，常以其在南北方向（即子午圈方向）上的投影 $\xi$ 和其在東西方向（即卯酉圈方向）上的投影 $\eta$ 描述：

${\begin{cases}\xi =\Phi -\varphi \\\eta =(\Lambda -\lambda )\cos {\varphi }\end{cases}}$

與重力異常和重力擾動的關係

設 $\mathbf {P}$ 點處測量得到的真實重力矢量為 ${\vec {\mathbf {g} }}_{P}$，而 $\mathbf {Q}$ 點處計算得到的正常重力矢量為 ${\vec {\mathbf {\gamma } }}_{Q}$，則 $\mathbf {P}$ 點處的重力異常矢量為：

$\Delta {\vec {\mathbf {g} }}={\vec {\mathbf {g} }}_{P}-{\vec {\mathbf {\gamma } }}_{Q}$

又設 $\mathbf {P}$ 點處測量得到的正常重力矢量為 ${\vec {\mathbf {\gamma } }}_{P}$，則 $\mathbf {P}$ 點處的重力擾動矢量為：

$\delta {\vec {\mathbf {g} }}={\vec {\mathbf {g} }}_{P}-{\vec {\mathbf {\gamma } }}_{P}$

重力異常矢量和重力擾動矢量的方向同為垂線偏差的方向，因為 $\mathbf {P}$、$\mathbf {Q}$ 兩點的正常重力方向在同一條直線上。

與大地水準面高的關係

大地水準面高即為兩點間的距離 $PQ$ ，垂線偏差亦可表示為大地水準面高的泛函。以一過垂線的垂直面截取點 $\mathbf {P}$，垂線偏差在此平面內的分量 $\varepsilon$ 與大地水準面高 $N$ 和大地水準面上的弧微分 $\operatorname {d} \!s$ 存在如下幾何關係：

$\tan \varepsilon =-\operatorname {d} \!N/\operatorname {d} \!s$

習慣上取沿法線向下的方向為正，因此上式中的 $-\operatorname {d} \!N$ 為負值。又因垂線偏差的分量 $\varepsilon$ 是微小量，即 $\varepsilon \rightarrow 0$ ，因此上式也可寫成：

$\varepsilon =-\operatorname {d} \!N/\operatorname {d} \!s\quad ({\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0})$

再以地球平均半徑 $R$ 替代點 $\mathbf {P}$ 在各法截面上的曲率半徑，得到大地水準面上弧微分的近似計算公式為

${\operatorname {d} \!s}^{2}=R^{2}{\operatorname {d} \!\varphi }^{2}+R^{2}{\cos }^{2}{\varphi }^{2}{\operatorname {d} \!\lambda }^{2}$

分別取垂直面分別與子午圈平行（即 $\operatorname {d} \!\lambda =0$）和與卯酉圈平行（即 $\operatorname {d} \!\varphi =0$），得到垂線偏差的兩個分量與大地水準面高的關係為：

${\begin{cases}\xi =-{\frac {1}{R}}{\partial N \over \partial \varphi }\\\eta =-{\frac {1}{R\cos \varphi }}{\partial N \over \partial \lambda }\end{cases}}$

參見

• 法線
• 鉛垂線
• 參考橢球面
• 大地水準面
• 重力異常
• 重力擾動