外共變導數

在數學中，外共變導數（exterior covariant derivative），時或稱為共變外導數（covariant exterior derivative），是流形上的微積分中一個非常有用的概念，它可能將利用主聯絡的公式化簡。

設 P → M 是光滑流形 M 上一個主 G-叢。如果 $\phi$ 是 P 上一個張量性 k-形式，則其外共變導數定義為：

$D\phi (X_{0},X_{1},\dots ,X_{k})=\mathrm {d} \phi (h(X_{0}),h(X_{1}),\dots ,h(X_{k}))$

這裡 h 表示到水平子空間的投影，$H_{x}$ 由聯絡定義，其核為該纖維叢的全空間切叢的 $V_{x}$（鉛直子空間）。這裡 $X_{i}$ 是 P 上任何向量場。Dφ 是 P 上一個張量性 k+1 形式。

不像通常的外導數的平方是 0，我們有

$D^{2}\phi =\Omega \wedge \phi$

這裡 $\Omega$ 表示曲率形式。特別的 $D^{2}$ 對平坦聯絡消沒。

物理學

若A是聯絡形式、f是函數，則外共變導數是

$d_{D}f=(d+A)f$

若$M\in End(E)$是矩陣函數（E是主叢；例如，屬於G的李代數），則外共變導數是

$d_{D}M=dM+[A,M]$

而且，若F是曲率形式，則

$F=d_{D}^{2}=d_{D}A=dA+A^{2}$

比安基恆等式是

$d_{D}F=d_{D}^{3}=0$

相關條目

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• 楊-米爾斯場論
• 陳-西蒙斯形式

參考文獻

• Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi. Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. Wiley-Interscience. 1996 (New edition). ISBN 0471157333. 
• Baez. Gauge fields, Knots, Gravity.
• Zee (徐一鴻). QFT in Nutshell.
• Michael Nielsen. Intro to YM. http://michaelnielsen.org/blog/yang_mills.pdf （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）