奇異函數

奇異函數（英語：singularity function）是一類含有奇異點的不連續函數（在奇異點不連續），其在數學領域裡的名稱為廣義函數或分布。這些函數以角括號標記，形如 $\langle x-a\rangle ^{n}$，其中n為整數。而「$\langle \rangle$」則被稱為奇異括號。奇異函數的定義為：

n	$\langle x-a\rangle ^{n}$
$<0$	${\frac {d^{|n+1|}}{dx^{|n+1|}}}\delta (x-a)\,$
-2	${\frac {d}{dx}}\delta (x-a)\,$
-1	$\delta (x-a)\,$
0	$H(x-a)\,$
1	$(x-a)H(x-a)\,$
2	$(x-a)^{2}H(x-a)$
$\geq 0$	$(x-a)^{n}H(x-a)$

其中，$\delta (x)$表示狄拉克δ函數，即單位脈衝。$\delta (x)$的一次導數則被稱為單位偶。$H(x)$為單位階躍函數：x<0 時 H(x)=0，而 x>0 時 H(x)=1。H(0)的值則按具體的約定而定。需要注意的是只有n=0時H(0)的值才有影響。$\langle x-a\rangle ^{1}$則稱為斜坡函數。

積分

對$\langle x-a\rangle ^{n}$的積分可按下式計算（x=a時積分結果取為0）：

$\int \langle x-a\rangle ^{n}dx={\begin{cases}\langle x-a\rangle ^{n+1},&n\leq 0\\{\frac {\langle x-a\rangle ^{n+1}}{n+1}},&n\geq 0\end{cases}}$