奈恩黑斯-理查德森括號

數學中，代數括號（algebraic bracket）或奈恩黑斯–理查德森括號（Nijenhuis–Richardson bracket）是一個向量空間到自身的交替多重線性形式上的一個分次李代數結構。這是由 A. Nijenhuis 與 R. W. Richardson, Jr 在(1966, 1967) 二文中引入的，它與 弗勒利歇爾-奈恩黑斯括號和斯豪滕-奈恩黑斯括號有關，但不一樣。

定義

引入此括號最初動機是為討論一個向量空間上所有可能的李代數結構以及隨後的這些結構的形變發展一個統一的框架。如果 V 是一個向量空間，p ≥ -1 是一個正數，令

$Alt^{p}(V)=(\wedge ^{p+1}V^{*})\otimes V$

為從 V 到自己的所有斜對稱 (p+1)-重線性映射。直和 Alt(V) 是一個分次向量空間。V 上一個李代數結構由一個斜對稱雙線性映射 μ : V × V → V 確定。即 μ 是 Alt¹(V) 的一個元素。另外 μ 需服從雅可比恆等式。Nijenhuis–Richardson 括號給出了將這個恆等式表示為 [μ,μ]=0 的一個系統性方式。

具體地，這個括號是定義在 Alt(V) 上的如下雙線性運算。在齊次元素 P ∈ Alt^p(V) 與 Q ∈ Alt^q(V) 上，奈恩黑斯–理查德森括號 [P,Q]^∧ ∈ Alt^p+q(V) 由

$[P,Q]^{\land }=i_{P}Q-(-1)^{pq}i_{Q}P\,$

給出，這裡內乘 i_P 定義為

$(i_{P}Q)(X_{0},X_{1},\ldots ,X_{p+q})=\sum _{\sigma \in Sh_{p,q}}\mathrm {sgn} (\sigma )P(Q(X_{0},X_{1},\ldots ,X_{q}),X_{q+1},\ldots ,X_{q+p})$

其中求和取遍指標的所有 (p,q) 順序。在非齊次元素上，雙線性擴張括號。

形式環的導子

奈恩黑斯–理查德森括號可以類似地定義在光滑流形 M 上的向量值形式 Ω^*(M, T(M)) 上。向量值形式 K 通過取 i_K 作為導子作用在 M 上的形式的超交換環 Ω^*(M) 上，奈恩黑斯–理查德森括號對應於這兩個導子的交換子。這樣將 Ω^*(M, T(M)) 等同於作用在光滑函數為為零的導子之代數。不是所有導子都是這種形式；這個導子的環結構請參見弗勒利歇爾－奈恩黑斯括號一文。

斯豪滕–奈恩黑斯括號與弗勒利歇爾－奈恩黑斯括號都使 Ω^*(M, T(M)) 成為一個分次超代數，但有不同的分次。

參考文獻

• Pierre Lecomte, Peter W. Michor, Hubert Schicketanz, The multigraded Nijenhuis–Richardson algebra, its universal property and application J. Pure Appl. Algebra, 77 (1992) 87–102
• P. W. Michor, Frölicher–Nijenhuis bracket, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• P. W. Michor, H. Schicketanz, A cohomology for vector valued differential forms Ann. Global Anal. Geom. 7 (1989), 163–169
• A. Nijenhuis, R. Richardson, Cohomology and deformations in graded Lie algebras Bull. Amer. Math. Soc. , 72 (1966) pp. 1–29
• A. Nijenhuis, R. Richardson, Deformation of Lie algebra structures, J. Math. Mech. 17 (1967), 89–105.