孤立奇點

假設X是一個代數簇，P∈X是X上的一個奇點，如果存在一個包含P的開鄰域（又稱開集）U，使得U中不在包含其他的奇點，那麼就稱P是孤立奇點。

在亞純函數中，所有奇點都是孤立的；但如果一個函數的所有奇點都是孤立的，並不能保證它是亞純函數。複分析中許多有用的工具，例如洛朗展開、留數定理等，都需要保證相關奇點的孤立性才能應用。

孤立奇點分為三種：

例子

函數 ${\frac {1}{z}}$ 在 $z=0$ 處有孤立奇點。

餘割函數 $\csc(\pi z)$ 在所有整數點處有孤立奇點。

函數 $\exp({\frac {1}{z}})$ 在 $z=0$ 處有孤立奇點，這是一個本質奇點。

三種孤立奇點有許多等價定義，以下列出部分，用以說明與洛朗級數的關係。

複函數 $f(z)$ 在一個以點 $c$ 為圓心的解析的環形區域 $D$ 上可以展開成這樣的級數形式

f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}

其中， $a_{n}$ 具有這樣的形式： $a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}}.\,$ 。積分路徑γ是一條逆時針方向的可求長曲線，把c包圍起來，位於圓環A內。

此時， $f(z)$ 的洛朗展開式中，指數為負數的部分 $\sum _{n=-\infty }^{-1}a_{n}(z-c)^{n}$ 稱作 $f(z)$ 的主要部分(principal part)。

以下可以看作可去奇點、極點、本性奇點又一等價定義。

假設 $a$ 是複函數 $f(z)$ 的一個可去奇點，則 $f(z)$ 在 $a$ 處鄰域內的洛朗級數展開式不含有主要部分。
假設 $a$ 是複函數 $f(z)$ 的一個極點，則 $f(z)$ 在 $a$ 處鄰域內的洛朗級數展開式的主要部分僅含有有限項；且主要部分的項數恰等於極點 $a$ 的階數。
假設 $a$ 是複函數 $f(z)$ 的一個本性奇點，則 $f(z)$ 在 $a$ 處鄰域內的洛朗級數展開式的主要部分含有無窮多項。