數學上,實樹,也稱為R-樹,是指有類似於的性質的度量空間(M,d),:對M中任何兩點x, y,都有唯一的自xy,而這條弧是測地線。自xy,是指從區間[a, b]到M中的拓撲嵌入f,使得f(a)=xf(b)=y

一個測地度量空間是實樹,當且僅當這空間是δ-雙曲空間,且δ=0。

完備實樹是單射度量空間。(Kirk 1998)

研究實樹上的群作用的理論稱為Rips machine,是幾何群論的一部份。

單純實樹

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一個單純實樹是沒有某種奇怪的拓撲性質的實樹。實樹T中的一點x稱為尋常的,意思是Tx有正好兩個分支。不是尋常的點x稱為奇異的。實樹稱為單純的,如果奇異點的集合是離散的。

例子

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  • 任何離散樹都可以視為實樹,一個簡單的構造方法,是定義相鄰節點的距離為1。
  • 在平面上定義度量為:平面上兩點如果在自原點出發的同一條射線上,則這兩點距離為兩點的歐幾里得距離,若否,則距離為自原點至這兩點的歐幾里得距離的和。上述度量稱為巴黎度量。巴黎度量使平面成為實樹。更一般而言,刺蝟空間都是實樹。
  • 下述所構造出的是非單純實樹:取閉區間[0,2],對每個正整數n,把一個長為1/n的區間黏合到原來區間的點1-1/n上。這個實樹的奇異點集是離散的,卻非閉集,因為在這實樹中1是尋常點。如果再黏貼一個區間到點1上,可以使奇異點集成為閉集,但是失了離散性。

參考

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